Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов [math]\displaystyle{ G_i }[/math] с последовательностью гомоморфизмов [math]\displaystyle{ \varphi_i\colon G_i\rightarrow G_{i+1} }[/math], такая что для любого [math]\displaystyle{ i }[/math] образ [math]\displaystyle{ \varphi_{i-1} }[/math] совпадает с ядром [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math] (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль [math]\displaystyle{ G_{i} }[/math] играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

Связанные определения

• Точные последовательности типа

  [math]\displaystyle{ 0\longrightarrow A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} B \stackrel{\psi}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0 }[/math]

называются короткими точными последовательностями, в этом случае [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — мономорфизм, а [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — эпиморфизм.

• При этом, если у [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] есть правый обратный или у [math]\displaystyle{ \psi }[/math] левый обратный морфизм, то [math]\displaystyle{ B }[/math] можно отождествить с [math]\displaystyle{ A\oplus C }[/math] таким образом, что [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] отождествляется с каноническим вложением [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ A\oplus C }[/math], а [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — с канонической проекцией [math]\displaystyle{ A\oplus C }[/math] на [math]\displaystyle{ C }[/math]. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

• Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
• Если [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,\varphi_i \subset \mathrm{Ker}\,\varphi_{i+1}, }[/math] то последовательность называется полуточной.

Примеры

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если [math]\displaystyle{ F \to M \to B }[/math] — локально тривиальное расслоение над [math]\displaystyle{ B }[/math] со слоем [math]\displaystyle{ F }[/math], то следующая последовательность гомотопических групп точна:

[math]\displaystyle{ \ldots \to \pi_n(F) \to \pi_n(M) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \ldots \to \pi_0(F) \to \pi_0(M) \to \pi_0(B) }[/math]

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\ &\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (A\cap B)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0. \end{align} }[/math]

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть [math]\displaystyle{ E\to X }[/math] — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана короткая точная последовательность расслоений

[math]\displaystyle{ 0 \longrightarrow VX \longrightarrow TE \longrightarrow HX \longrightarrow 0 }[/math]

и двойственная к ней

[math]\displaystyle{ 0 \longleftarrow V^*X \longleftarrow T^*E \longleftarrow H^*X \longleftarrow 0 }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ TE }[/math] — касательное расслоение к многообразию [math]\displaystyle{ E }[/math], [math]\displaystyle{ VX }[/math] и [math]\displaystyle{ HX }[/math] — вертикальное и горизонтальное расслоения к [math]\displaystyle{ X }[/math] соответственно. [math]\displaystyle{ ^* }[/math] обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

• Экспоненциальная точная последовательность

[math]\displaystyle{ 0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal O_M }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal O^*_M }[/math] — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций