Геометрический род

Геометрический род — это базовый бирациональный инвариант p_g алгебраических многообразий и комплексных многообразий.

Определение

Геометрический род может быть определён для несингулярных комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий, как число Ходжа h^n,0 (равное h^0,n согласно двойственности Серра), то есть, как размерность канонической линейной системы плюс единица.

Другими словами, для многообразия V комплексной размерности n это значение равно числу линейно независимых голоморфных n-форм на многообразии V. Это определение как размерность пространства

[math]\displaystyle{ H^0(V,\Omega^n) }[/math]

тогда переносится на любое базовое поле, если Ω брать как пучок кэлеровых дифференциалов, а степень равна внешнему произведению, каноническому линейному расслоению.

Геометрический род является первым инвариантом [math]\displaystyle{ p_g = P_1 }[/math] последовательности инвариантов [math]\displaystyle{ P_n }[/math], носящих название плюрижанр (или кратный род).

Случай кривых

В случае комплексных многообразий несингулярные кривые являются римановыми поверхностями. Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода. На несингулярной кривой каноническое линейное расслоение имеет степень [math]\displaystyle{ 2g - 2 }[/math].

Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей) и формуле Римана — Гурвица. По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род

[math]\displaystyle{ g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s, }[/math]

где s — число особых точек, нужным образом подсчитанных.

Если C является неприводимой (и гладкой) поверхностью в проективной плоскости, определяемой полиномиальным уравнением степени d, то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(d) }[/math], так что по формуле присоединения каноническое линейное расслоение поверхности C задаётся равенством [math]\displaystyle{ \mathcal{ K}_C = [\mathcal{K}_{\mathbb{P}^2} + \mathcal{O}(d)]_{{\mid}C} = \mathcal{O}(d - 3)_{{\mid}C} }[/math].

Род сингулярных многообразий

Определение геометрического рода переносится классическим образом на сингулярные кривые C путём констатации, что [math]\displaystyle{ p_g(C) }[/math] является геометрическим родом нормализации C′. То есть, поскольку отображение [math]\displaystyle{ C^\prime \rightarrow C }[/math] является бирациональным, определение расширяется бирациональным инвариантом.

См. также

• Арифметический род
• Инварианты поверхностей

Литература

• Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic Geometry. — Wiley Interscience, 1994. — С. 494. — (Wiley Classics Library). — ISBN 0-471-05059-8.
• Данилов В.И., Шокуров В.В. Алгебраическая геометрия-1. — 1998. — Т. 23. — (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.).