Перейти к содержанию

Теорема Римана — Роха для поверхностей

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Римана — Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности. В классическом виде теорему первым сформулировал Кастельнуово[1] после предварительных версий Макса Нётера[2] и Энриквеса[3]. Версия в терминах пучков принадлежит Хирцебруху.

Утверждение теоремы

Одна из форм теоремы Римана — Роха утверждает, что если D является дивизором несингулярной проективной поверхности, то

[math]\displaystyle{ \chi(D) = \chi(0) +\tfrac{1}{2} D . (D - K) \, }[/math],

где χ — голоморфная эйлерова характеристика, символ «точка» — индекс пересечения, а K — канонический дивизор. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + pa, где pa — арифметический род[англ.] поверхности. Для сравнения, теорема Римана — Роха для кривой утверждает, что [math]\displaystyle{ \chi(D) = \chi(0) + deg(D) }[/math].

Формула Нётера

Формула Нётера утверждает, что

[math]\displaystyle{ \chi = \frac{c_1^2+c_2}{12} = \frac{(K.K)+e}{12} }[/math],

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, [math]\displaystyle{ c_1^2 = (K.K) }[/math] — число Чженя и число самопересечений канонического класса K, а [math]\displaystyle{ e = c_2 }[/math] является топологической эйлеровой характеристикой. Формула может быть использована для замены члена χ(0) в теореме Римана — Роха в топологических терминах. Это даёт теорему Хирцебруха — Римана — Роха[англ.] для поверхностей.

Связь с теоремой Хирцебруха — Римана — Роха

Для поверхностей Теорема Хирцебруха — Римана — Роха[англ.], по существу, является теоремой Римана — Роха для поверхностей, скомбинированной с формулй Нётера. Чтобы это видеть, напомним, что для любого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O(D), такой, что линейная система дивизора D является более или менее пространством сечений L. Для поверхностей класс Тодда — это [math]\displaystyle{ 1 + c_1(X) / 2 + (c_1(X)^2 + c_2(X)) / 12 }[/math], а характер Чженя пучка L — это просто [math]\displaystyle{ 1 + c_1(L) + c_1(L)^2 / 2 }[/math]. Таким образом, теорема Хирцебруха — Римана — Роха утверждает, что

[math]\displaystyle{ \begin{align} \chi(D) &= h^0(L) - h^1(L) + h^2(L)\\ &= \frac{1}{2} c_1(L)^2 + \frac{1}{2} c_1(L) \, c_1(X) + \frac{1}{12} \left(c_1(X)^2 + c_2(X)\right) \end{align} }[/math]

К счастью, формулу можно переписать в более ясном виде следующим образом. В первую очередь, полагая D = 0, получим, что

[math]\displaystyle{ \chi(0) = \frac{1}{12}\left(c_1(X)^2 + c_2(X)\right) }[/math]     (Формула Нётера)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя равен нулю. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в группе Пикара[англ.], и мы получаем более классическую версию теоремы Римана — Роха для поверхностей:

[math]\displaystyle{ \chi(D) = \chi(0) + \frac{1}{2}(D.D - D.K) }[/math]

При желании мы можем использовать двойственность Серра для выражения [math]\displaystyle{ h^2(\mathrm{O}(D)) }[/math] как [math]\displaystyle{ h^0(\mathrm{O}(K - D)) }[/math], но, в отличие от случая кривых, не имеется в общем случае простого пути записать член [math]\displaystyle{ h^1(\mathrm{O}(D)) }[/math] в форме, не использующей когомологии пучков (хотя, на практике, он часто обращается в нуль).

Ранние версии

Наиболее ранние формы теоремы Римана — Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. Типичный пример формулировки дал Зарисский[4], в которой утверждается

[math]\displaystyle{ r \geqslant n - \pi + p_a + 1 - i }[/math],

где

  • r — размерность полной линейной системы |D| дивизора D (так что [math]\displaystyle{ r = h^0(\mathrm{O}(D)) - 1 }[/math])
  • n — виртуальная степень дивизора D, задаваемая числом самопересечений (D.D)
  • π — виртуальный род дивизора D, равен 1 + (D.D + K.D)/2
  • pa — арифметический род [math]\displaystyle{ \chi(\mathrm{O}_F) - 1 }[/math] поверхности
  • i — индекс специфичности дивизора D, равен [math]\displaystyle{ dim H^0(\mathrm{O}(K - D)) }[/math] (что, согласно двойственности Серра, равно [math]\displaystyle{ dim H^2(\mathrm{O}(D)) }[/math]).

Разность двух частей этого неравенства называется избыточностью s дивизора D. Сравнение этого неравенства с версией теоремы Римана — Роха с пучками показывает, что избыточность дивизора D задаётся равенством [math]\displaystyle{ s = dim H^1(\mathrm{O}(D)) }[/math]. Дивизор D назывался регулярным, если [math]\displaystyle{ i = s = 0 }[/math] (или, другими словами, если все группы высоких когомологий O(D) обращаются в нуль) и избыточным, если [math]\displaystyle{ s \gt 0 }[/math].

Примечания

  1. ↑ Castelnuovo, 1896.
  2. ↑ Noether, 1875.
  3. ↑ Enriques (1894)
  4. ↑ Zariski, 1995, с. 78.

Литература

  • Friedrich Hirzebruch. Topological Methods in Algebraic Geometry. — Springer, 1978. — ISBN 3-540-03525-7. — ISBN 0-387-03525-7. — ISBN 3-540-58663-6.
  • Oscar Zariski. Algebraic surfaces. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995. — (Classics in Mathematics). — ISBN 978-3-540-58658-6.
  • Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. Soc. It delle Scienze. — 1896. — Т. 3, вып. 10.
  • Max Noether. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann.. — 1875. — Т. 8, вып. 4. — С. 495–533. — doi:10.1007/BF02106598.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Римана_—_Роха_для_поверхностей&oldid=5888341