Выборочная дисперсия
Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:
- смещённая;
- несмещённая, или исправленная
Определения
Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n,\ldots }[/math] — выборка из распределения вероятности. Тогда
- выборочная дисперсия — это случайная величина
- [math]\displaystyle{ S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2 }[/math],
где символ [math]\displaystyle{ \bar{X} }[/math] обозначает выборочное среднее;
- несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина
- [math]\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2 }[/math].
Замечание
Очевидно,
- [math]\displaystyle{ S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n }[/math].
Свойства выборочных дисперсий
- Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть [math]\displaystyle{ \hat{F}(x) }[/math] — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math] функция [math]\displaystyle{ \hat{F}(\omega,x) }[/math] является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна [math]\displaystyle{ S^2_n(\omega) }[/math].
- Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если [math]\displaystyle{ \mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 \lt \infty }[/math], то
- [math]\displaystyle{ S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2 }[/math]
и
- [math]\displaystyle{ S^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2 }[/math],
где символ «[math]\displaystyle{ \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}} }[/math]» обозначает сходимость по вероятности.
- Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[S^2_n\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 }[/math],
и
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[S^2\right] = \sigma^2 }[/math].
- Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2),\; i=1,2,\ldots }[/math]. Тогда
- [math]\displaystyle{ (n-1) \frac{S^2}{\sigma^2} \equiv n \frac{S^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) }[/math].