Вейвлет Койфлет
К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.
Основные положения теории вейвлет-функций
Вейвлеты — ортонормированный базис в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]. С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и её временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки [1].
Построение систем вейвлет-функций
Определение скейлинг-функции
Пусть [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] представляет собой функцию из в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], такую что множество её трансляций
[math]\displaystyle{ \{ {\varphi}_{0, \;k}(t)\bigr|\varphi_{0, \;k}(t)=\varphi(t-k) \}, }[/math] ([math]\displaystyle{ k \in \Zeta }[/math] — параметр масштабирующий частоту вейвлета)
образует ортогональный базис в [math]\displaystyle{ L_2(R) }[/math].
Введем [math]\displaystyle{ {\varphi}_{j, \;k}(t) }[/math] согласно:
[math]\displaystyle{ {\varphi}_{j, \;k}(t)=2^{j/2}\varphi(2^jt-k) j, k\in \Zeta. }[/math]
Пусть [math]\displaystyle{ \{ {\varphi}_{0, \;k}(t)\} }[/math] — ортонормированный базис пространства [math]\displaystyle{ V_0 }[/math]. Тогда для любой функции [math]\displaystyle{ f(t)\in\mbox{V}_\mathrm{0} }[/math]:
[math]\displaystyle{ f(t)=\sum_k C_k \varphi(t-k). }[/math]
Далее, пусть [math]\displaystyle{ \{ {\varphi}_{j, \;k}(t)\} }[/math] — ортонормированный базис пространства [math]\displaystyle{ V_j }[/math] , [math]\displaystyle{ j\in\Zeta }[/math]. Тогда мы получаем последовательность пространств [math]\displaystyle{ \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} }[/math], таких что
[math]\displaystyle{ V_j\subset V_{j+1} }[/math].
Определение. Пусть [math]\displaystyle{ {\varphi}_{0, \;k}(t) }[/math] — ортонормированный базис в [math]\displaystyle{ V_0 }[/math], тогда разложение функции [math]\displaystyle{ f(t)\in L_2 }[/math] по базисам пространств [math]\displaystyle{ \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} }[/math] называется многомасштабным анализом в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math].
Определение. Если [math]\displaystyle{ \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} }[/math] является последовательностью пространств многомасштабного анализа в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], функция [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.
Определение материнской вейвлет-функции
Пусть последовательность пространств [math]\displaystyle{ \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} }[/math] является последовательностью пространств многомасштабного анализа в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]. Определим пространство [math]\displaystyle{ W_j }[/math] как дополнение пространства [math]\displaystyle{ V_j }[/math] до пространства [math]\displaystyle{ V_{j+1} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ W_j=V_{j+1}\backslash V_j }[/math]. Тогда
[math]\displaystyle{ V_j=V_0\oplus\bigoplus_{k=0}^{j}W_k }[/math],
или же:
[math]\displaystyle{ {L}_{2}=V_0\oplus\bigoplus_{j=0}^{\infty}W_j }[/math]. [math]\displaystyle{ (1) }[/math]
Построим материнскую вейвлет-функцию [math]\displaystyle{ \psi(t) \in {L}_{2} }[/math] ортогональную скейлинг-функции [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math]. В результате получим набор функций [math]\displaystyle{ \{{\psi}_{j, \;k}(t)\bigr|j,k \in \Zeta \} }[/math] — базис в пространстве [math]\displaystyle{ W_j }[/math].
Вейвлет-разложение
Таким образом, согласно (1) и определению функций [math]\displaystyle{ {\psi}_{j, \;k}(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ {\varphi}_{j, \;k}(t)) }[/math] как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция [math]\displaystyle{ f(t)\in L_2 }[/math] может быть разложена в сходящийся в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] ряд:
[math]\displaystyle{ f(t)=\sum_k {\alpha}_k{\varphi}_{0,\;k}(t)+\sum_j\sum_k {\beta}_{j,\;k}{\psi}_{k,\;j}(t), }[/math]
при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:
[math]\displaystyle{ {\alpha}_k=\int f(t){\varphi}_{0,\;k}^{\ast}(t)dt, }[/math]
[math]\displaystyle{ {\beta}_{j,\;k}=\int f(t){\psi}_{j,\;k}^{\ast}(t)dt. }[/math]
Коэффициенты [math]\displaystyle{ {\alpha}_{k} }[/math] дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты [math]\displaystyle{ {\beta}_{j,\;k} }[/math] содержат информацию о деталях общей формы.
Уровень разложения задается числом пространств [math]\displaystyle{ W_j }[/math] используемых для анализа.
Функция [math]\displaystyle{ m_0(\omega) }[/math]
Утверждение. Пространства [math]\displaystyle{ V_j }[/math] являются вложенными [math]\displaystyle{ V_j\subset V_{j+1} }[/math] , [math]\displaystyle{ j\in \Zeta }[/math] при условии, что существует [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] — периодическая функция [math]\displaystyle{ m_0(w)\in L_2(0,2\pi) }[/math] такая, что
[math]\displaystyle{ \hat{\varphi}(\omega)=m_0\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ (2) }[/math]
где [math]\displaystyle{ \hat{\varphi}(\omega) }[/math] — Фурье-образ функции [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] (доказательство см. 2).
Лемма 0.Система функций [math]\displaystyle{ \{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \} }[/math] является ортонормированной в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] тогда и только тогда, когда
[math]\displaystyle{ \sum_k \bigr|\hat{\varphi}(\omega+2\pi k){\bigr|}^{2}=1 }[/math]. (3)
Лемма 1. Положим, что [math]\displaystyle{ \{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \} }[/math]представляет собой ортонормированный базис в [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] . Тогда для любой [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:
[math]\displaystyle{ \bigr| {m}_{0}(\omega) {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}(\omega+\pi){\bigr|}^2=1 }[/math]. (4)
Лемма 2.В том случае, если [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как [math]\displaystyle{ m_0(\omega) }[/math] — [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] -периодическую функцию из [math]\displaystyle{ L_2(0,2\pi) }[/math] , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа
[math]\displaystyle{ \hat{\psi}(\omega)=m_{1}\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ (5) }[/math]
где
[math]\displaystyle{ m_1(\omega)=m_{0}^{*}(\omega+\pi)\exp(-jw) }[/math] — вейвлет-функция. (6)
Таким образом, скейлинг-функция [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] и материнская вейвлет-функция [math]\displaystyle{ \psi(t) }[/math] определяются [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] -периодической функцией [math]\displaystyle{ m_0(w)\in L_2(0,2\pi) }[/math] согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие
[math]\displaystyle{ m_0(0)=0 }[/math].
Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] -периодической функцией [math]\displaystyle{ m_0(w)\in L_2(0,2\pi) }[/math], но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.
Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.
Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию [math]\displaystyle{ m_0(\omega) }[/math] :
[math]\displaystyle{ m_0(\omega)=\left(\frac{1+\exp(-j\omega)}{2} \right)^NL(\omega), }[/math]
где [math]\displaystyle{ L(\omega) }[/math] — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:
- [math]\displaystyle{ \int \varphi(t){t}^{l}dt=0, l=1,..,N-1; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int \varphi(t)tdt=1; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int \psi(t){t}^{l}dt=0, l=0,..,N-1. }[/math]
Или в частотной области:
- [math]\displaystyle{ \hat{\varphi}^{(l)}(0)=0, l=1,..,N-1; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hat{\varphi}(0)=1; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hat{\psi}^{(l)}(0)=0, l=0,..,N-1. }[/math]
Условие [math]\displaystyle{ \hat{\varphi}^{(l)}(0)=0 }[/math] подразумевает [math]\displaystyle{ {m}^{(l)}(0)=0, l=1,..,N-1; }[/math].
Если существует некоторое число [math]\displaystyle{ N=2K, K \in \Nu }[/math], тогда, согласно работе [2] рассматриваемая функция [math]\displaystyle{ m_0(\omega) }[/math] для койфлетов может быть представлена в виде:
[math]\displaystyle{ m_0(\omega)=\left(\frac{1+\exp(-j\omega)}{2} \right)^{2K}{P}_1{}(\omega), }[/math]
где
[math]\displaystyle{ {P}_{1}(\omega)=\sum_{k=0}^{K-1}\left[\left(\begin{array}{c}\frac{k}{K-1+k} \end{array}\right) \left(\sin(\frac{\omega}{2})\right)^{2k}+\left(\sin(\frac{\omega}{2})\right)^{2K}F(\omega)\right], }[/math] (7)
[math]\displaystyle{ F(\omega) }[/math] — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:
[math]\displaystyle{ \bigr| {m}_{0}(\omega) {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}(\omega+\pi){\bigr|}^2=1 }[/math].
Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома [math]\displaystyle{ m_0(\omega) }[/math] в виде (7), называются койфлетами уровня [math]\displaystyle{ N=2K }[/math] .
Преимущества и применение койфлетов
- Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
- Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
- Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.
См. также
Литература
- Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — https://web.archive.org/web/20021020170708/http://www.quantlet.de/scripts/wav/html/ .
- Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.