Автокорреляционная функция

График 100 случайных величин, суммированный с синусоидальным сигналом малой амплитуды. График автокорреляционной функции позволяет увидеть периодичность в ряде данных.

Автокорреляционная функция — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой копией от величины временного сдвига.

Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ) сигнала [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] определяется интегралом:

[math]\displaystyle{ \Psi(\tau) = \int_{-\infty}^\infty f(t) f^*(t-\tau) \mathrm{d}t }[/math]

и показывает связь сигнала (функции [math]\displaystyle{ \;f(t) }[/math]) с копией самого себя, смещённого на величину [math]\displaystyle{ \tau }[/math]. Звёздочка означает комплексное сопряжение.

Для случайных процессов АКФ случайной функции [math]\displaystyle{ X(t) }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ K (\tau) = \mathbb{E}\{X(t)X^*(t-\tau)\} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\{\ \} }[/math] — математическое ожидание, звёздочка означает комплексное сопряжение.

Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а, следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний, например, электроэнцефалограммы человека.

Применение в технике

Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.

Изучение АКФ играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.

Другие применения

Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов (см., например: Турчин П. В. Историческая динамика. М.: УРСС, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра.

Скоростное вычисление

Часто приходится вычислять автокорреляционную функцию для временного ряда [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Вычисление «в лоб» работает за [math]\displaystyle{ O(T^2) }[/math]. Однако есть способ сделать это за [math]\displaystyle{ O(T \log T) }[/math].

Метод основан на теореме Хинчина — Колмогорова (она же Винера-Хинчина), утверждающей, что автокорреляционная функция сигнала есть фурье-образ его спектральной плотности мощности. Поскольку для дискретных сигналов для вычисления их спектров существует алгоритм быстрого преобразования Фурье, имеющий порядок сложности [math]\displaystyle{ O(T \log T) }[/math], то имеется возможность ускорить вычисление автокорреляционной функции за счет вычисления спектра сигнала, затем его мощности (квадрата модуля) и затем обратного фурье-преобразования.

Суть способа состоит в следующем. Можно сделать некое обратное взаимно однозначное преобразование данных, называемое преобразованием Фурье, которое поставит им во взаимно однозначное соответствие набор данных в другом пространстве, называемом пространством частот (частотный спектр сигнала --- набор спектральных амплитуд ). Вместо прямого вычисления автокорреляционной функции на наших исходных данных можно произвести соответствующую ей операцию над соответствующими данными в пространстве частот Фурье-спектра, что делается за линейное время O(T) — вычислению автокорреляционной функции в пространстве частот соответствует вычисление мощностей частот возведением в квадрат модулей спектральных амплитуд. После этого мы по полученным спектральным мощностям восстановим соответствующие им в обычном пространстве значения автокорреляционной функции. Вычисление спектра по функции и обратно делается с помощью быстрого преобразования Фурье за [math]\displaystyle{ O(T \log T) }[/math], вычисление спектральной плотности мощности в пространстве частот — за O(T). Таким образом, мы получили выигрыш по времени при вычислениях.

Подготовка. Вычитаем из ряда среднее арифметическое. Преобразуем в комплексные числа. Дополняем нулями до [math]\displaystyle{ 2^k }[/math]. Затем дописываем в конец ещё [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] нулей.

Вычисление. Автокорреляционная функция вычисляется с помощью быстрого преобразования Фурье и прямо пропорциональна первым [math]\displaystyle{ n }[/math] элементам последовательности

[math]\displaystyle{ \Psi(\tau) \sim \operatorname{Re} \operatorname{fft}^{-1}\left(\left|\operatorname{fft}(\vec x)\right|^2\right) }[/math]

Квадрат комплексного модуля берётся поэлементно: [math]\displaystyle{ \left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operatorname{Re}^2 a_i + \operatorname{Im}^2 a_i \right\} }[/math]. Если нет погрешностей вычисления, мнимая часть будет равна нулю. Коэффициент пропорциональности определяется из требования [math]\displaystyle{ \Psi(0)=1 }[/math].

См. также

• Теорема Хинчина-Колмогорова
• Корреляционная функция
• Взаимнокорреляционная функция
• Периодическая функция
• Корреляция
• Критерий Дарбина — Уотсона
• Дисперсия случайной величины
• Свёртка (математический анализ)

Ссылки

• функция xcorr в MATLAB