Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности
Спектральная плотность мощности
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Вт·с
СГС	эрг
Примечания
	скалярная

Спектра́льная пло́тность мо́щности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала в зависимости от частоты, то есть мощность, приходящаяся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии. Например, в Международной системе единиц (СИ): Вт/Гц = Вт/с⁻¹ = Вт·с.

Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде, например, акустических. В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади, например: Вт·Гц^-1·м^-2 (формально можно заменить на Дж·м^-2, но тогда физическое содержание величины становится менее наглядным).

Формальное определение

Пусть [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени [math]\displaystyle{ \left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2} \right] }[/math]. Тогда энергия сигнала на данном интервале равна:

[math]\displaystyle{ E_T=\int\limits_{-T/2}^{T/2}x^2(t)\, \mathrm{d}t }[/math].

В соответствии с теоремой Парсеваля [math]\displaystyle{ E_T }[/math] представима в виде:

[math]\displaystyle{ E_T=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F_T(\omega)|^2 \, \mathrm{d}\omega }[/math],

где [math]\displaystyle{ F_T(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-i\omega t}\,dt }[/math] — преобразование Фурье от [math]\displaystyle{ x(t) }[/math].

При [math]\displaystyle{ T \to +\infty }[/math], средняя мощность имеет вид:

[math]\displaystyle{ W = \lim_{T \to +\infty}\frac{E_T}{T} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \lim_{T \to +\infty}\frac{|F_T(\omega)|^2}{T} \,\mathrm{d}\omega }[/math].

[math]\displaystyle{ S(\omega)=\lim_{T\to+\infty}\frac{|F_T(\omega)|^2}{T} }[/math] — спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности) или энергетический спектр сигнала.

Спектральная плотность мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектральные плотности мощности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за трудоёмкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена — Тьюки) и периодограммному методу.

См. также

Литература

Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.
Прокис Дж. Цифровая связь = Digital Communications / Кловский Д. Д.. — М.: Радио и связь, 2000. — С. 62-63. — 800 с. — ISBN 5-256-01434-X.