Солитон

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
У этого термина существуют и другие значения, см. Солитон (значения).
График «тёмного солитона»

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave»[1][2][3].

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы[4].

Солитоны бывают различной природы:

  • на поверхности жидкости[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор[7]
  • ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме[8]
  • гравитационные солитоны в слоистой жидкости[9]
  • солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера[10]
  • можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы[11]
  • солитоны в нелинейно-оптических материалах[12][13]
  • солитоны в воздушной среде [14]

Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Распад синусоидальной волны на солитоны, наблюдавшийся Забуски и Крускалом при численном решении уравнения КдФ

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

[math]\displaystyle{ u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0 }[/math]

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

[math]\displaystyle{ u(x,t) = - \frac{2\varkappa^2}{ \mathrm{ch}^2\,\varkappa(x-4\varkappa^2 t-\varphi) } }[/math]

где [math]\displaystyle{ 2\varkappa^2 }[/math] — амплитуда солитона, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна [math]\displaystyle{ \varkappa^{-1} }[/math]. Такой солитон движется со скоростью [math]\displaystyle{ v = 4\varkappa^2 }[/math]. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее[15].

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при [math]\displaystyle{ t\to \pm\infty }[/math] решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

[math]\displaystyle{ u(x,t) = -2 \frac{d^2}{dx^2} \ln \det A(x,t) }[/math]

где матрица [math]\displaystyle{ A(x,t) }[/math] даётся выражением

[math]\displaystyle{ A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\beta_n}{\varkappa_n + \varkappa_m}\mathrm{e}^{8\varkappa_n^3 t -(\varkappa_n + \varkappa_m)x} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \beta_n, n=1,\dots,N }[/math] и [math]\displaystyle{ \varkappa_n\gt 0, n=1,\dots,N }[/math] — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

[math]\displaystyle{ -\partial^2_x\psi(x) + u(x)\psi(x) = E\psi(x) }[/math]

с потенциалом [math]\displaystyle{ u(x) }[/math], убывающим на бесконечности быстрее чем [math]\displaystyle{ |x|^{-1-\varepsilon} }[/math], коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при [math]\displaystyle{ t\to -\infty }[/math] решение имеет асимптотический вид [math]\displaystyle{ N }[/math] солитонов, тогда при [math]\displaystyle{ t\to +\infty }[/math] оно также имеет вид [math]\displaystyle{ N }[/math] солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы [math]\displaystyle{ k }[/math]-го солитона равен

[math]\displaystyle{ \Delta\varphi_k = \sum_{\stackrel{n=1}{n\ne k}}^{N} \Delta\varphi_{nk} }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ n }[/math]-й солитон движется быстрее, чем [math]\displaystyle{ m }[/math]-й, тогда

[math]\displaystyle{ \Delta\varphi^{+}_{n} = \Delta\varphi_{kn} = \frac{1}{\varkappa_n}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right| }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta\varphi^{-}_{k} = \Delta\varphi_{nk} = - \frac{1}{\varkappa_m}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right| }[/math]

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину [math]\displaystyle{ \Delta\varphi^{+}_{n} }[/math], а фаза более медленного — уменьшается на [math]\displaystyle{ \Delta\varphi^{-}_{k} }[/math], причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

[math]\displaystyle{ i u_t + u_{xx} + \nu \vert u \vert^2 u = 0 }[/math]

при значении параметра [math]\displaystyle{ \nu \gt 0 }[/math] допустимы уединённые волны в виде:

[math]\displaystyle{ u \left( x,t \right) = \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \mathrm{ch}^{-1} \left( \sqrt{\alpha}(x - Ut) \right) e^{i(r x-st)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ r, s,\alpha,U }[/math] — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

[math]\displaystyle{ U=2r }[/math]
[math]\displaystyle{ s=r^2-\alpha }[/math]


Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона[16].

См. также

Примечания

  1. ↑ J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII)
  2. ↑ J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
  3. ↑ Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12.
  4. ↑ N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.Оригинал статьи
  5. ↑ Дж. Л. Лэм. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  6. ↑ А. Т. Филиппов. Многоликий солитон. — С. 40—42.
  7. ↑ А. Т. Филиппов. Многоликий солитон. — С. 227—23.
  8. ↑ Солитон — статья из Физической энциклопедии
  9. ↑ Vladimir Belinski, Enric Verdaguer. Gravitational solitons. — Cambridge University Press, 2001. — 258 с. — (Cambridge monographs on mathematical physics). — ISBN 0521805864.
  10. ↑ Н. Н. Розанов. Мир лазерных солитонов // Природа. — 2007. — № 6. Архивировано 24 апреля 2013 года.
  11. ↑ А. Т. Филиппов. Многоликий солитон. — С. 241—246.
  12. ↑ А. И. Маймистов. Солитоны в нелинейной оптике // Квантовая электроника. — 2010. — Т. 40, № 9. — С. 756—781.
  13. ↑ Andrei I Maimistov. Solitons in nonlinear optics (англ.) // Quantum Electronics. — 2010. — Vol. 40. — P. 756. — doi:10.1070/QE2010v040n09ABEH014396. Архивировано 9 марта 2011 года.
  14. ↑ В стране и мире - Телеканал «Звезда» (недоступная ссылка). Дата обращения: 5 апреля 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  15. ↑ Сазонов С. В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1—22.
  16. ↑ Источник. Дата обращения: 17 мая 2018. Архивировано 31 декабря 2019 года.

Литература

  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
  • Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. — М.: Физматлит, 2003. — 304 с. — ISBN 5-9221-0344-X.
  • Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
  • Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
  • Барьяхтар В. Г., Захаров В. Е., Черноусенко В. М. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка, 1990. — 472 с. — 1000 экз. — ISBN 5-12-001120-9.
  • Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner. Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.
  • Focus: Landmarks—Computer Simulations Led to Discovery of Solitons (англ.) // Physics. — 2013. — Vol. 6. — P. 15. — doi:10.1103/Physics.6.15.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Солитон&oldid=11456997