Полярон
Полярон | |
---|---|
Состав | Квазичастица: состоит из электрона и сопровождающего его поля поляризации |
Классификация | Различают поляроны малого радиуса (при [math]\displaystyle{ r_p\lt a }[/math])[1], промежуточного радиуса ([math]\displaystyle{ r_p \approx a }[/math]), большого радиуса ([math]\displaystyle{ r_p \gg a }[/math]).[2], ТИ-поляроны |
Теоретически обоснована | С. И. Пекар в 1946 году |
Названа в честь | Поляризация |
Количество типов | 4 |
Квантовые числа | |
Спин | [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] |
Поляро́н — квазичастица в кристалле, состоящая из электрона и сопровождающего его поля упругой деформации (поляризации) решётки. Медленно движущийся электрон в диэлектрическом кристалле, взаимодействующий с ионами решётки через дальнодействующие силы, будет постоянно окружён областью решёточной поляризации и деформации, вызванной движением электрона. Двигаясь через кристалл, электрон проводит решёточную деформацию, потому можно говорить о наличии облака фононов, сопровождающего электрон. Характер поляризации и энергия связи электрона с решёткой отличаются в металлах, полупроводниках и ионных кристаллах. Это связано с типом связи и скоростью движения электронов в решётке.
Понятие о поляроне введено советским физиком С. И. Пекаром в 1946 году, им же впоследствии была развита их теория[3][4] . Эта теория основывается на электростатическом взаимодействии электрона проводимости на длинноволновые оптические фононы.
Поляроны в металлах
Поляризация решётки осуществляется не всеми электронами, а только фермиевскими электронами. В простейшем случае, для квадратичной дисперсии и сферической поверхности Ферми, эффективная масса фермиевских электронов [math]\displaystyle{ m^*\approx m_0 }[/math] ([math]\displaystyle{ m_0 }[/math] — масса свободного электрона), а их скорость близка к скорости Ферми [math]\displaystyle{ v_F\approx10^6 }[/math] м/с. Принято говорить, что электрон в кристаллической решётке окружён «облаком» виртуальных фононов с дебаевской частотой. Чем больше поляризация, тем больше рождается виртуальных фононов. и тем сильнее связь электрона с решёткой. Энергия связи электрона с решёткой определяется константой электрон-фононного взаимодействия [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac13\frac{E_p}{\hbar\omega_D}. }[/math]
Коэффициент [math]\displaystyle{ 1/3 }[/math] учитывает существование трёх ветвей спектра фононов, а [math]\displaystyle{ \omega_D }[/math] — дебаевская частота.
Электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что масса полярона [math]\displaystyle{ m_p }[/math] становится больше массы «голого» электрона [math]\displaystyle{ m^{*} }[/math]
- [math]\displaystyle{ m_p\approx m^*(1+\lambda). }[/math]
Таким образом, поляроны в металлах являются отрицательно заряженными с зарядом [math]\displaystyle{ -e }[/math] и эффективной массой [math]\displaystyle{ m_p }[/math][5].
Поляроны в полупроводниках
В полупроводниках с ковалентной связью продольные оптические колебания слабо влияют на электроны и дырки, так как кристаллическая решётка состоит из нейтральных атомов, и продольные колебания не поляризуют решётку. Константа электрон-фононного взаимодействия в таких веществах слишком мала ([math]\displaystyle{ \lambda\approx0{,}002-0{,}01 }[/math]) для образования поляронов, и параметры зонного спектра и носителей заряда в полупроводниках не перенормируются в результате поляронного взаимодействия[6].
Поляроны в ионных кристаллах
Решётка ионных кристаллов образована положительно и отрицательно заряженными ионами, удерживаемыми вместе за счёт сил электростатического взаимодействия. Концентрация свободных электронов настолько мала, что электронный газ всегда невырожден, поэтому электроны и фононы находятся в тепловом равновесии. Поэтому при понижении температуры в ионных кристаллах может возникнуть автолокализация электронов в собственных потенциальных ямах за счёт притяжения к положительным ионам и отталкивания от отрицательных. При этом отрицательные и положительные ионы смещаются в противоположных направлениях, что эквивалентно возбуждению продольных оптических фононов, длина волны которых может варьироваться в широких пределах. Электроны эффективно взаимодействуют только с продольными оптическими колебаниями, длина волны которых больше расстояния, которое проходит электрон за период колебаний решётки, так как только в этом случае происходит изменение плотности кристалла, образование связанных электрических зарядов и поляризационного поля[7].
Различают поляроны большого и малого радиуса. Чем сильнее электрон поляризует решётку, тем больше эффективная зона поляризации и больше эффективная масса полярона. Размер полярона определяется соотношением между размером возмущенной области кристалла (радиусом полярона [math]\displaystyle{ r_p }[/math]) и постоянной решетки [math]\displaystyle{ a }[/math]. Различают поляроны малого радиуса (при [math]\displaystyle{ r_p\lt a }[/math])[1], промежуточного радиуса ([math]\displaystyle{ r_p \approx a }[/math]), большого радиуса ([math]\displaystyle{ r_p \gg a }[/math]).[2] Спин полярона не зависит от радиуса и равен 1/2.
Поляроны малого радиуса
Неподвижный электрон, помещённый в кристалл, поляризует кристаллическую решётку. Энергия поляризации равна
- [math]\displaystyle{ E_p\approx-\frac{e^2}{\varepsilon^*a}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \frac{1}{\varepsilon^*}=\frac{1}{\varepsilon^\infty}-\frac{1}{\varepsilon^0} }[/math], а [math]\displaystyle{ \varepsilon^0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \varepsilon^\infty }[/math] — статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости соответственно. При характерных значениях [math]\displaystyle{ \varepsilon^0\approx10 }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon^\infty\approx3 }[/math], [math]\displaystyle{ a\approx0{,}5 }[/math] нм энергия поляризации [math]\displaystyle{ E_p }[/math] равна [math]\displaystyle{ \approx0{,}3 }[/math] эВ.
Суммарная энергия полярона малого радиуса равна
- [math]\displaystyle{ E_p+V=-\frac{e^2}{r_p\varepsilon^*} }[/math]
где [math]\displaystyle{ V }[/math] — потенциальная энергия локализованного электрона, а [math]\displaystyle{ r_p=\frac{\pi^2\varepsilon^*\hbar^2}{m^*e^2} }[/math] — характерный радиус полярона.
За счёт поляризации ионов решётки возбуждаются оптические фононы, поэтому эффективность поляризации можно характеризовать константой электрон-фононной связи [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], характеризующая число оптических фононов, возбуждённых в решётке. Если [math]\displaystyle{ W }[/math] — ширина электронной зоны, характеризующая кинетическую энергию электронов, то полярон может образоваться лишь при условии [math]\displaystyle{ E_p\gt W }[/math], и температура, ниже которой образуется полярон, задаётся соотношением
- [math]\displaystyle{ T^*\approx\frac{|E_p-W|}{k_B}. }[/math]
Поэтому образование поляронов возможно только в достаточно узкозонных кристаллах с характерным значением [math]\displaystyle{ W\approx0{,}2 }[/math] эВ. При образовании поляронов электронная зона сильно сужается и образуется поляронная зона шириной [math]\displaystyle{ W_p }[/math], которую можно оценить по формуле
- [math]\displaystyle{ W_p=W\exp(-\lambda). }[/math]
При типичных энергиях полярона [math]\displaystyle{ E_p\approx0{,}3 }[/math] эВ и оптического фонона [math]\displaystyle{ \hbar\omega_0\approx0{,}3 }[/math] эВ величина [math]\displaystyle{ \lambda\approx10 }[/math] и ширина поляронной зоны [math]\displaystyle{ W_p\approx W\exp(-10)=0{,}2e^{-10} }[/math] эВ, что на четыре порядка меньше исходной электронной зоны. Поэтому такая узкая зона реализуется только в идеальных совершенных кристаллах, любые нарушения кристалличности приводят к локализации таких поляронов.
При [math]\displaystyle{ k_BT\gt \hbar\omega_0 }[/math] полярон малого радиуса перемещается термически активированными скачками с энергией активации порядка энергии полярона. Подвижность поляронов растёт приблизительно экспоненциально с ростом температуры[8].
Поляроны большого радиуса
В отличие от поляронов малого радиуса, поляроны большого радиуса образуются в ионных кристаллах с широкой зоной проводимости [math]\displaystyle{ \displaystyle{W \gg E_p} }[/math], и константа электрон-фононной связи определяется выражением
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{e^2\sqrt{m^*\omega_0}}{2\omega_0\varepsilon\hbar^{3/2}}\approx\mathrm{const}\sqrt{\frac{\omega_0}{W}}. }[/math]
При [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lambda \gt 10} }[/math] образуется полярон большого радиуса, а при слабой электрон-фононной связи ([math]\displaystyle{ \lambda\lt 1 }[/math]) электрон поляризует решётку, но не локализуется в созданной им поляризационной яме. Расчёты дают выражения для массы и энергии полярона большого радиуса:
- [math]\displaystyle{ m_p=\frac{m^*}{1-\lambda/6},\ E_p=-\lambda\omega_0. }[/math]
Для реальных кристаллов наиболее интересна область промежуточных значений [math]\displaystyle{ 1\lt \lambda\lt 10 }[/math]. При этих значениях нельзя получить аналитических выражений, но численные расчёты показывают, что предыдущие две формулы справедливы до [math]\displaystyle{ \lambda\approx6 }[/math]. Полная энергия полярона большого радиуса равна
- [math]\displaystyle{ E_0=-\frac{e^2}{r_p\varepsilon^*}, }[/math]
что в два раза меньше, чем аналогичная энергия для полярона малого радиуса[9].
Подвижность поляронов
Поляроны большого радиуса не меняют качественно зонный спектр кристалла, их подвижность уменьшается обратно пропорционально увеличению их эффективной массы, перенормируются также их плотность состояний и скорость.
У поляронов малого радиуса подвижность сильно зависит от температуры. Если при низких температурах волновые функции поляронов перекрываются, то это приводит к образованию поляронной зоны с обычным зонным механизмом проводимости. При повышении температуры образуется система локализованных поляронов, и зонный механизм сменяется прыжковым. Прыжковую проводимость можно рассматривать как диффузную проводимость
- [math]\displaystyle{ \mu\approx\mu_0\exp\left(-\frac{E_0}{2k_BT}\right) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \mu_0\sim1/T }[/math][10].
Структура поляронов
В реальности поляроны имеют внутреннюю структуру, так как поляронные потенциальные ямы при сильном электрон-фононном взаимодействии образуются из набора оптических фононов с разными длинами волн. Поляронные ямы могут иметь несколько уровней энергии, соответствующих разным распределениям заряда и различным радиусам. Эти уровни могут размываться в зоны вследствие конечности времени существования полярона или в результате того, что параметры поляронных ям варьируются из-за неоднородности вещества. Также поляроны исчезают в сильных электрических полях, так как скорость полярона не может быть больше групповой скорости продольных оптических фононов. При увеличении дрейфовой скорости электрон отрывается от потенциальной ямы, и она исчезает[11].
Биполяроны
В некоторых веществах два полярона с одинаковыми зарядами могут взаимно связываться, образуя биполярон. Биполярон представляет собой квазичастицу, состоящую из двух электронов, лежащих в общей потенциальной яме. Заряд биполярона равен [math]\displaystyle{ +2e }[/math] либо [math]\displaystyle{ -2e }[/math] соответственно заряду объединившихся поляронов, а спин в основном [math]\displaystyle{ s }[/math]-состоянии равен нулю. То есть биполяроны могут образовывать бозе-конденсат, так как подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна[12].
Примечания
- ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 R.P. Feynman, R.W. Hellwarth, C.K. Iddings, P.M. Platzman, Phys. Rev. 127, 1004 (1962)
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 Л. Д. Ландау Собрание трудов, т 1, М., Наука, 1969, стр. 90
- ↑ Пекар, Соломон Исаакович // Большая русская биографическая энциклопедия (электронное издание). — Версия 3.0. — М.: Бизнессофт, ИДДК, 2007.// Статья в большой биографической энциклопедии
- ↑ Пекар, 1951.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 396-398.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 398.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 398-400.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 400-401.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 402.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 405-406.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 406-407.
- ↑ Кульбачинский, 2005, с. 407.
Литература
- Брандт Н. Б., Кульбачинский В. А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 632 с. — ISBN 5-9221-0564-7.
- Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М.—Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
- Фейнман Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975.
- Поляроны : сборник / под ред. Ю. А. Фирсова. — М.: Наука, 1975.
- Каширина Н. И., Лахно В. Д. Математическое моделирование автолокализированных состояний в конденсированных средах. - М., Физматлит, 2014. - 292 с. - ISBN 978-5-9221-1530-8