Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. В теории вероятностей σ-алгебра интерпретируется как совокупность событий, для которых могут быть определены вероятности. В статистике σ-алгебра используется для определения понятия достаточной статистики.

Например, для множества событий [math]\displaystyle{ \mathcal A = \{A,B\} }[/math] σ-алгеброй будет: [math]\displaystyle{ \sigma(\mathcal R) = \{\emptyset, \Omega, A, B, A^C,B^C,A\cup B, (A\cup B)^C\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] - пустое множество, [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] - достоверное событие или само множество, [math]\displaystyle{ A^C }[/math] - дополнение [math]\displaystyle{ A }[/math], и так далее.

Сигма-алгебра позволяет решать задачи, если множество исходов эксперимента несчетно. Например, случайное бросание точки на отрезке будет иметь континуум (непрерывный) исходов. Если эксперимент имеет счетное множество исходов, любая совокупность исходов представляет собой событие, но если эксперимент имеет несчетное множество исходов, то представить любую совокупность исходов как событие нельзя, поскольку не будет выполнятся [math]\displaystyle{ P(\Omega)=1 }[/math] (достоверное событие). Поэтому для экспериментов с несчетным множеством событий выделяется специальный класс подмножеств - сигма алгебра. Таким образом как алгебра является классом множеств, замкнутым относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения (более слабое условие), так и сигма-алгебра - это класс множеств, замкнутый относительно счетного (См. счетное множество) числа этих операций (более сильное условие). "Счетное" означает в биекции с натуральными числами. Сигма-алгебра необходима как мера множества.

Определение

Семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{S} }[/math] подмножеств множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. [math]\displaystyle{ \mathfrak{S} }[/math] содержит множество [math]\displaystyle{ X }[/math] и пустое множество Ø.
2. Если [math]\displaystyle{ E\in \mathfrak{S} }[/math], то и его дополнение [math]\displaystyle{ X\backslash E\in\mathfrak{S} }[/math].
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из [math]\displaystyle{ \mathfrak{S} }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ \mathfrak{S} }[/math]

Пояснения

• Поскольку

  [math]\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = X\backslash \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash A_n)\right), }[/math]

в пункте 3, достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало [math]\displaystyle{ \mathfrak{S} }[/math].

• Для любой системы множеств [math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math] существует наименьшая сигма-алгебра [math]\displaystyle{ \sigma(\mathcal{S}) }[/math], являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств [math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на [math]\displaystyle{ \sigma(\mathcal{S}) }[/math], то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной [math]\displaystyle{ \xi:\,X\rightarrow \mathbb{R} }[/math], определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathcal{B}(\mathbb{R}) }[/math] — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], относительно которой случайная величина [math]\displaystyle{ \xi }[/math] всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции [math]\displaystyle{ \xi }[/math] её можно ввести и наделить таким образом пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] структурой измеримого пространства, так что функция [math]\displaystyle{ \xi }[/math] будет измеримой.

Сигма-алгебра и измеримое пространство

Основная статья: Измеримое пространство

Если задано множество [math]\displaystyle{ X }[/math] и сигма-алгебра [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство. Таким образом, измеримое пространство — это пара [math]\displaystyle{ (X, \mathcal F) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Чтобы формализовать вероятностную задачу, соответствующему эксперименту приписывают измеримое пространство [math]\displaystyle{ (X, \mathcal F) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] - множество элементарных исходов эксперимента, а алгебра или сигма-алгебра [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] выделяет класс событий. Все остальные подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math], не входящие в [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math], событиями не являются.

Сигма-алгебра и вероятность событий

Вероятность на [math]\displaystyle{ (X, \mathcal F) }[/math] это числовая функция, определенная на множества из [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] и обладающая следующими свойствами:

1. [math]\displaystyle{ P(A) \ge 0 }[/math] для любого [math]\displaystyle{ A \in \mathcal F }[/math]. 2. [math]\displaystyle{ P(X) = 1 }[/math]. 3. Если последовательность событий [math]\displaystyle{ {A_n} }[/math] такова, что [math]\displaystyle{ A_iA_j=\varnothing }[/math] при [math]\displaystyle{ i \ne j }[/math], [math]\displaystyle{ \bigcup_1^\infty A_n \in \mathcal F }[/math], то

[math]\displaystyle{ P\left (\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right )=\sum_{n=1}^\infty P(A_n) }[/math] (требование аддитивности для событий)

Сигма-алгебра и вероятностное пространство

Тройка [math]\displaystyle{ (X, \mathcal F, P) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathcal F }[/math] - сигма-алгебра, называется вероятностным пространством. Вероятность [math]\displaystyle{ P }[/math] на [math]\displaystyle{ (X, \mathcal F) }[/math] называется распределением вероятностей на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Таким образом, задание вероятностного пространства есть задание счетно-аддитивной неотрицательной меры на измеримом пространстве, такой что мера [math]\displaystyle{ X }[/math] равна [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. В этом заключается аксиоматика А.Н. Колмогорова.

Построение вероятностного пространства [math]\displaystyle{ (X, \mathcal F, P) }[/math] явялется основным этапом в создании математической модели (формализации) эксперимента.

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра
• Для любого множества [math]\displaystyle{ X }[/math] существует тривиа́льная σ-алгебра [math]\displaystyle{ \left\{X,\varnothing\right\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] — пустое множество.
• Для любого множества [math]\displaystyle{ X }[/math] существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Литература

• Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.