Нормальная высота

Рис. 1. [math]\displaystyle{ W_0 }[/math] — нулевой потенциал, [math]\displaystyle{ W_A }[/math] — потенциал в точке [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ H^\gamma }[/math] — нормальная высота точки [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta_A }[/math] — аномалия высоты точки [math]\displaystyle{ A }[/math]

Нормальная высота — один из возможных способов определения высоты от уровня моря. Величина, численно равная отношению геопотенциальной величины в данной точке к среднему значению нормальной силы тяжести Земли по отрезку, отложенному от поверхности земного эллипсоида.

Иначе, значение, которое можно охарактеризовать как: перемещение единичной массы в поле силы тяжести [math]\displaystyle{ g }[/math] из некоторой точки [math]\displaystyle{ U_0 }[/math] с потенциалом [math]\displaystyle{ W_0 }[/math] в точку [math]\displaystyle{ U }[/math] с потенциалом [math]\displaystyle{ W }[/math], деленное на среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке [math]\displaystyle{ U_0 }[/math] до [math]\displaystyle{ U }[/math]. В отличие от ортометрической высоты при вычислении нормальной высоты нет необходимости иметь информацию о внутреннем строении Земли, так как вычисление нормальной высоты происходит не в реальном, а в нормальном поле.

Общая информация

История введения термина

Впервые нормальные высоты введены М. С. Молоденским, тогда они ещё не имели названия и были обозначены через [math]\displaystyle{ q }[/math]. В работе того же Молоденского, нормальные высоты были названы вспомогательными. Свое современное название эти высоты, по предложению Молоденского, получили в работе В.Ф. Ермеева

М. С. Молоденский отметил, что определение малой разности между реальным и нормальным гравитационным полем Земли (аномальное поле) имеет строгое решение, если в возникающих уравнениях ввести «вспомогательные» высоты [math]\displaystyle{ H^\gamma }[/math] под условием:

[math]\displaystyle{ W(H) - W_0(H=\zeta_0) = U(H=H^\gamma) - U_0(H=0) }[/math]

В. Ф. Еремеев отметил, что «вспомогательные» высоты ближе к суммам нивелирных превышений, чем ортометрические высоты, и по предложению самого Молоденского был введён термин «нормальная высота».

Связь с Балтийской системой высот

При измерении нивелирных превышений и вычислении геопотенциальных чисел в разных странах используют различные исходные пункты. Каждая изолированная нивелирная сеть, развитая от какого-либо футштока, определяет разности потенциалов точек этой сети относительно уровненной поверхности [math]\displaystyle{ W = W_0 }[/math], проходящей через исходный пункт данной сети. Поскольку уровень моря в разных районах различен, исходные пункты связаны с разными уровенными поверхностями, и по измерениям в изолированных сетях нельзя получить геопотенциальные числа для всей Земли в единой системе. Чтобы подчеркнуть это, говорят, что на данной территории развита система высот от определённого футштока. Так, в СССР была создана Балтийская система высот, в которой исходным пунктом служит Кронштадский футшток. Здесь термин «система» имеет смысл, как система, которая устанавливает некоторую уровенную поверхность, относительно который вычисляют разности потенциалов.

Использование в других странах

Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах, Швеция, Германия, Франция и др.).

В Австрии, Боснии и Герцеговине, Норвегии, Югославии приняты нормально-ортометрические высоты.

Особенности использования термина

В случаях, когда высоты определены с не очень высокой точностью, все высоты, кроме геодезической, называют высотами над уровнем моря, или абсолютными высотами, а разность высот — относительными высотами. Это аналогично названию координат приближенно все координаты (астрономические, геодезические, геоцентрические) называют географическими.

Способы определения

• Геометрическое нивелирование
• Спутниковое нивелирование

Основные сведения

Рис. 2. Точка [math]\displaystyle{ P }[/math] — точка поверхности Земли, через которую проходит нормальная уровенная поверхность, [math]\displaystyle{ U = U_p }[/math] — нормальная уровенная поверхность, [math]\displaystyle{ U_p }[/math] — нормальный потенциал в точке [math]\displaystyle{ P }[/math], [math]\displaystyle{ P_1{P_\gamma} }[/math] — нормальная высота, [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — аномалия высоты, [math]\displaystyle{ P_1{P} }[/math] — геодезическая высота

Натуральная система координат связана с силовыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормальной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, проходящими через данных пункт. Так как нормальное поле не совпадает с действительными, координаты в нормально поле отличаются от натуральных.

Связь с геопотенциальным числом

Установим связь нормального геопотенциального числа [math]\displaystyle{ U_0 - U_p }[/math] с действительным [math]\displaystyle{ W_0 - W_p }[/math]. Для потенциала в точке [math]\displaystyle{ P }[/math]

[math]\displaystyle{ W_p = W_0 -(W_0 - W_p) }[/math];

[math]\displaystyle{ U_p = U_0 -(U_0 - U_p) }[/math]

образуем разность [math]\displaystyle{ W_p - U_p }[/math]. Учитывая что эта разность равна аномальному потенциалу [math]\displaystyle{ T_p }[/math] получим

[math]\displaystyle{ (U_0 - U_p) = (W_0 - W_p) + T_p - (W_0 - U_0) }[/math]

Действительное и нормальное геопотенциальное число различается на величину аномального потенциала в точке [math]\displaystyle{ P }[/math] и разность [math]\displaystyle{ W_0 - U_0 }[/math] потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.

Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным и потенциал [math]\displaystyle{ W_0 }[/math] на геоиде был равен потенциалу [math]\displaystyle{ U_0 }[/math] на уровенном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки [math]\displaystyle{ P }[/math] тоже совпали бы. Однако на силовой линии [math]\displaystyle{ P_1P }[/math] нормального поля, проходящей через точку [math]\displaystyle{ P }[/math], всегда найдется такая точка [math]\displaystyle{ P^\gamma }[/math] в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действительному

[math]\displaystyle{ U_0 - U_{p^\gamma} \equiv W_0 - W_p }[/math]

Причем поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка [math]\displaystyle{ P^\gamma }[/math] будет не далеко расположена от точки [math]\displaystyle{ P }[/math].

Отличие от высоты в нормальном поле

Высота в нормальном поле определена как отрезок [math]\displaystyle{ PP_1 }[/math]нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки [math]\displaystyle{ P }[/math]. Она отличается от геодезической высоты только из-за кривизны нормальной силовой линии, но это отличие практически не ощутимо. Высота в нормальном поле — это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормального поля от эллипсоида до любой точки [math]\displaystyle{ P }[/math], а нормальная высота — расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] эллипсоида, но не до точки [math]\displaystyle{ P }[/math], а до точки [math]\displaystyle{ P^\gamma }[/math], в который выполняется тождество выше.

Связь с аномалией высоты

Отрезок [math]\displaystyle{ P^\gamma{P} = \zeta }[/math] появляется из-за несовпадения действительного и нормального поля является элементом аномального поля. Его называют аномалией высоты.

Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями проходящими через точки [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ P^\gamma }[/math]. Согласно формуле [math]\displaystyle{ dU = -\gamma{dH_H} }[/math], полагая [math]\displaystyle{ dU = U_p - U_{p\gamma} }[/math] и [math]\displaystyle{ dH_H = \zeta }[/math], находим

[math]\displaystyle{ \zeta = {U{p\gamma} - U_p \over \gamma} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке [math]\displaystyle{ \zeta }[/math]

Связь с геодезической высотой

Высота [math]\displaystyle{ H_H = P_1{P} }[/math] равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты

[math]\displaystyle{ H_H = H^\gamma + \zeta }[/math]

Так как высота в нормальном поле практически совпадает с геодезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот

[math]\displaystyle{ H = H^\gamma + \zeta }[/math]

Основная формула

Перенесём измеренную разность потенциалов в нормальное поле:

[math]\displaystyle{ W_A - W_0 = -\int\limits_{(W_0)}^{(W)}gdh = U' - U_0 = -\int\limits_{(U_0)}^{(U')}\gamma dh = -\gamma^mH^\gamma }[/math]

где точка с нормальным потенциалом [math]\displaystyle{ U' }[/math]не совпадает с точкой H на земной поверхности, а лежит с ней практически на одной нормали к эллипсоиду (см. рис. 1), [math]\displaystyle{ \gamma^m }[/math] — среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке от [math]\displaystyle{ U_0 }[/math] до [math]\displaystyle{ U' }[/math]:

[math]\displaystyle{ \gamma^m = {1 \over H^\gamma}\int\limits_{(U_0)}^{(U')} \gamma dH }[/math]

что можно вычислить с любой степенью точности, в отличие от грубо известного [math]\displaystyle{ g^m }[/math], где [math]\displaystyle{ g^m }[/math] — среднее интегральное значение силы тяжести на отрезке силовой линии. Из условия выше имеем:

[math]\displaystyle{ {\displaystyle H^{\gamma }={1 \over \gamma ^{m}}\int \limits _{(W_{0})}^{(W)}gdh=-{W-W_{0} \over \gamma ^{m}}} }[/math] — нормальная высота точки земной поверхности.

В простейшем случае [math]\displaystyle{ \gamma^m }[/math] можно определить по нормальному градиенту как [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] на половине [math]\displaystyle{ H^\gamma }[/math], то есть:

[math]\displaystyle{ \gamma_0 - {\partial \gamma \over \partial H} {H^\gamma \over 2} }[/math]