Индуцированная топология

Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\;\mathcal{T}) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — определённая на [math]\displaystyle{ X }[/math] топология. Пусть также [math]\displaystyle{ Y \subset X }[/math]. Определим [math]\displaystyle{ \mathcal{T}_Y }[/math] — семейство подмножеств [math]\displaystyle{ Y }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathcal{T}_Y=\{U\cap Y\mid U\in\mathcal{T}\}. }[/math]

Несложно проверить, что [math]\displaystyle{ \mathcal{T}_Y }[/math] является топологией на [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Эта топология называется индуцированной топологией [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]. Топологическое пространство [math]\displaystyle{ (Y,\;\mathcal{T}_Y) }[/math] называется подпростра́нством [math]\displaystyle{ (X,\;\mathcal{T}) }[/math].

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] – произвольное множество, [math]\displaystyle{ (Y,\;\mathcal{T}_Y) }[/math] – топологическое пространство и [math]\displaystyle{ f : X \to Y }[/math] – произвольное отображение [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Тогда в качестве [math]\displaystyle{ \mathcal{T}_X }[/math] возьмем всевозможные множества вида [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]([math]\displaystyle{ V }[/math]), где [math]\displaystyle{ V }[/math] – открытые множества в [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Топология [math]\displaystyle{ \mathcal{T}_X }[/math] называется индуцированной отображением [math]\displaystyle{ f }[/math] топологией. Она хороша тем, что отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], для которых отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] будет непрерывным.

Пример

Пусть дана вещественная прямая [math]\displaystyle{ \R }[/math] со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\subset\R }[/math], является дискретной.