4-тензор

4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени.

• Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

[math]\displaystyle{ A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{j_1 j_2 \ldots j_m}, }[/math]

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть [math]\displaystyle{ i_1 = 0,1,2,3, i_2 = 0,1,2,3 }[/math] итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так:

[math]\displaystyle{ A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{\prime j_1 j_2 \ldots j_m} = \beta_{j_1 k_1} \beta_{j_2 k_2} \ldots \beta_{j_m k_m} \alpha_{i_1 l_1} \alpha_{i_2 l_2} \ldots \alpha_{i_n l_n} A_{l_1 l_2 \ldots l_n}^{k_1 k_2 \ldots k_m} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha_{ij} }[/math] — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а [math]\displaystyle{ \beta_{ij} }[/math] — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора [math]\displaystyle{ \hat{g} }[/math], например для 4-тензора второго ранга

[math]\displaystyle{ A^{ij} = g^{jk} A^i_k }[/math]

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записи

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

Примеры

4-тензоры в ОТО

• метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он - обычно - имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
• тензор кривизны
• тензор Риччи
• тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Основная статья: Тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала:

[math]\displaystyle{ F_{ik} = \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k} }[/math].

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

[math]\displaystyle{ F_{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ F^{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) }[/math]

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

[math]\displaystyle{ m c \frac{du^i}{ds} = \frac{q}{c}F^{ik}u_k }[/math],

где [math]\displaystyle{ u^k }[/math] — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

См. также

• 4-импульс
• 4-скорость
• 4-потенциал
• 4-ток
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор энергии-импульса
• Тензор Эйнштейна
• Метрика пространства-времени

Внешние ссылки

• Глава 8 Релятивистская динамика 8.8. Свойства тензоров и момент импульса частицы (неопр.) (недоступная ссылка — история ). Дата обращения: 10 июня 2009. (недоступная ссылка)
• ЛЕКЦИЯ 20 Четырехмерные векторы и тензоры II ранга. (неопр.) (недоступная ссылка). Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе (22 февраля 2002). Дата обращения: 10 июня 2009. Архивировано 29 ноября 2004 года.