Метрика пространства-времени
Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.
Как правило, обозначается символом [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math].
В инерциальной системе отсчёта матрица метрического тензора пространства-времени имеет вид
- [math]\displaystyle{ \hat{g} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right) }[/math].
В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.
Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как, исходя из принципа эквивалентности, наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.
Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой
- [math]\displaystyle{ ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j }[/math].
Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.
Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора
- [math]\displaystyle{ A_i = g_{ij}A^j }[/math].
Свойства
Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть [math]\displaystyle{ g_{ij} = g_{ji} }[/math]. Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.
Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка
- [math]\displaystyle{ E^{ijkl} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} }[/math],
где [math]\displaystyle{ e^{ijkl} }[/math] — обычный полностью антисимметрический тензор, определённый в инерционной системе отсчёта, то есть тензор, компоненты которого равны 1 или -1 и меняют знак при перестановке каких-либо двух индексов.
Таким образом
- [math]\displaystyle{ g^{ij} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} g_{kl} }[/math]
Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.
Собственное время
Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен
- [math]\displaystyle{ ds^2 = g_{00} (dx^0)^2 = c^2 d\tau^2 }[/math],
где с — скорость света в вакууме.
Величину
- [math]\displaystyle{ \tau = \frac{1}{c}\int\sqrt{g_{00}} dx^0 }[/math]
называют собственным временем для данной точки пространства.
Пространственный интервал
Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой
- [math]\displaystyle{ dl^2 = \gamma_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta = \left( - g_{\alpha\beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0\beta}}{g_{00}} \right) dx^\alpha dx^\beta }[/math]
Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор [math]\displaystyle{ \gamma_{\alpha\beta} }[/math] есть метрический тензор для трёхмерного пространства.
Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единственное исключение — ситуация, в которой метрический тензор [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] не зависит от времени.
См. также
Ссылки
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. — М.: Наука, 1974. — Т. 2.
- Г. А. Зисман. [bse.sci-lib.com/article076056.html Метрика пространства-времени Значение слова "Метрика пространства-времени" в Большой советской энциклопедии]. bse.sci-lib.com. Дата обращения: 10 июня 2009. Архивировано 2 апреля 2012 года.