Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма) называется функция двух аргументов [math]\displaystyle{ K(x,\;y) }[/math], определяющая некий интегральный оператор [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math] равенством

[math]\displaystyle{ \varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{X} }[/math] — пространство с мерой [math]\displaystyle{ d\mu(x) }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] принадлежит некоторому пространству функций, определённых на [math]\displaystyle{ \mathbb{X} }[/math].

Примеры

• Ядро [math]\displaystyle{ K(x,\;y) }[/math] называется [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]-ядром, если оно удовлетворяет условию:

[math]\displaystyle{ \int\limits_D\int\limits_D |K(x,\;y)|^2\,dx\,dy\lt +\infty, }[/math]

где [math]\displaystyle{ K(x,\;y) }[/math] — измеримая на [math]\displaystyle{ D }[/math] функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

[math]\displaystyle{ K(x,\;y)\equiv 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ y\gt x }[/math]

называется ядром Вольтерры.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество [math]\displaystyle{ K(x,\;y)=K(y,\;x) }[/math].
• Если выполняется тождество [math]\displaystyle{ K(x,\;y)=\overline{K(y,\;x)} }[/math], где [math]\displaystyle{ \overline{K(y,\;x)} }[/math] — комплексно сопряжённое к [math]\displaystyle{ K(x,\;y) }[/math], то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро [math]\displaystyle{ K(x,\;y) }[/math] допускает разложение вида:

[math]\displaystyle{ K(x,\;y)=\sum_{k=1}^n X_k(x)Y_k(y), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \{X_i(x)\},\;\{Y_i(y)\} }[/math] [math]\displaystyle{ (i=1,\;2,\;\ldots,\;n) }[/math] — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ([math]\displaystyle{ L_2 }[/math]-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера о разложении ядра гласит:

Если симметричное [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]-ядро [math]\displaystyle{ K(x,\;y) }[/math] непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) [math]\displaystyle{ \lambda_k }[/math], то справедливо представление: [math]\displaystyle{ K(x,\;y)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\varphi_k(x)\varphi_k(y)}{\lambda_k}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \{\varphi_k(x)\} }[/math] — ортогональная система [math]\displaystyle{ L_2 }[/math]-функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..