Элементарный топос

См. также: Топос Гротендика

Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.

Определение

Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта [math]\displaystyle{ T\colon 1 \to \Omega }[/math], называемый истиной (также обозначается [math]\displaystyle{ true }[/math]), такой что для любого мономорфизма [math]\displaystyle{ m\colon A \to B }[/math] существует единственный морфизм [math]\displaystyle{ \chi_m\colon B \to \Omega }[/math], для которого диаграмма

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал [math]\displaystyle{ a^b }[/math] любых двух объектов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] и классификатор подобъектов [math]\displaystyle{ \Omega }[/math].

Свойства

• Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.

Примеры

• Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — это множество [math]\displaystyle{ A^B }[/math] отображений из [math]\displaystyle{ B }[/math] в [math]\displaystyle{ A }[/math]. Классификатор подобъектов — это множество [math]\displaystyle{ \Omega = \{0;1\} }[/math], при этом [math]\displaystyle{ m }[/math] — естественное вложение [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ B }[/math], а [math]\displaystyle{ \chi_m }[/math] — характеристическая функция подмножества [math]\displaystyle{ A }[/math] множества [math]\displaystyle{ B }[/math], равная 1 на элементах [math]\displaystyle{ A }[/math] и 0 на элементах [math]\displaystyle{ A \backslash B }[/math]. Подобъекты [math]\displaystyle{ A }[/math] — это его подмножества.
• Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
• Для любой категории [math]\displaystyle{ C }[/math] категория функторов [math]\displaystyle{ \left[ C, \mathbf{Set} \right] }[/math] является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов [math]\displaystyle{ F,G }[/math] функтор морфизмов [math]\displaystyle{ [F,G] }[/math] даётся формулой

[math]\displaystyle{ [F,G](c)=\mathrm{Hom}(F(c),G(c)) }[/math]

Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] на объекте [math]\displaystyle{ c\in C }[/math] равен множеству подфункторов представимого функтора [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(c,\cdot) }[/math].

• Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству [math]\displaystyle{ X }[/math] его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, [math]\displaystyle{ Ouv(X) }[/math], то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе [math]\displaystyle{ [Ouv(X),\mathbf{Set}] }[/math]. Единственное отличие: [math]\displaystyle{ \Omega(c) }[/math] есть множество всех подпучков представимого пучка [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_{Ouv(X)}(c,\cdot) }[/math].
• Более общо, для любой категории [math]\displaystyle{ C }[/math] с заданной топологией Гротендика [math]\displaystyle{ \tau }[/math] категория [math]\displaystyle{ \tau }[/math]-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
• Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
• P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.