Обобщённое число такси

Обобщённое число такси (ОЧТ), обозначаемое Taxicab(k, j, n) это наименьшее число, которое может быть представлено n различными суммами j натуральных чисел в положительной степени k. Taxicab(3, 2, n) совпадает с числом такси.

Леонард Эйлер доказал, что [math]\displaystyle{ \mathrm{Taxicab}(4, 2, 2) = 635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4, }[/math] но Taxicab(4, 2, 3) неизвестно.

Неизвестно ни одного натурального числа, которое может быть представлено суммой двух и более пятых степеней по крайней мере двумя способами, а значит неизвестны Taxicab(5, 2, n) для всех n ≥ 2 .

Тривиальные последовательности ОЧТ

[math]\displaystyle{ \mathrm{Taxicab}(k,j,1)=j }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{Taxicab}(1,2,n)=2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=\cdots=n+n }[/math]

Некоторые нетривиальные разложения и ОЧТ

[math]\displaystyle{ \mathrm{Taxicab}(3, 2, 2) = 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 }[/math] — число, которое связывают с именем Рамануджана, хотя впервые оно было опубликовано Бернаром Френиклем де Бесси в 1657 году..

[math]\displaystyle{ \operatorname{Taxicab}(5,3,2)=1\ 375\ 298\ 099=62^5 + 54^5 + 3^5 = 67^5 + 28^5 + 24^5\,\! }[/math]

k	j	Taxicab(k, j,2)	Taxicab(k, j,3)	Taxicab(k, j,4)	OEIS
2	2	50	325	1105	A016032
2	3	27	54	129	A025414
2	4	31	28	52	A025416
3	2	1729	87539319	6963472309248	A011541
3	3	251	5104	13896	A025418
3	4	219	1225	1979	A025420
4	2	635318657			A230562
4	3	2673

Родственные задачи

Поиск ОЧТ сводится к поиску «минимального» решения системы диофантовых уравнений для сумм степеней в множестве натуральных чисел. Подобные решения ищутся также в множестве целых чисел и для разностей степеней. Например, известно, что

[math]\displaystyle{ 25900232113758000049920=401168^4-17228^4=415137^4-248289^4=421296^4-273588^4 }[/math]

Ссылки

• Generalised Taxicab Numbers and Cabtaxi Numbers
• Taxicab Numbers - 4th powers
• Taxicab numbers by Walter Schneider