Алгебраически замкнутое поле
Алгебраически замкнутое поле — поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math], в котором всякий многочлен ненулевой степени над [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] имеет хотя бы один корень.
Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.
Свойства
- В алгебраически замкнутом поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов [math]\displaystyle{ \mathbb K[x] }[/math] имеет степень 1. См. также теорема Безу.
- Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
- Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
- Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
- Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.
Конструкция
Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.
Пусть задано поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]. Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.
Определим [math]\displaystyle{ F \subset \mathbb{K}[x] }[/math] как множество всех неприводимых многочленов над полем [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]. Каждому многочлену поставим в соответствие переменную [math]\displaystyle{ x_f }[/math]. Обозначим за [math]\displaystyle{ X }[/math] множество всех таких переменных [math]\displaystyle{ X=\{x_f|f\in F\} }[/math]. Образуем кольцо многочленов [math]\displaystyle{ \mathbb{K}[X] }[/math]. Можно показать, что идеал [math]\displaystyle{ I }[/math], порождённый всеми многочленами вида [math]\displaystyle{ f(x_f) }[/math], не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу [math]\displaystyle{ I' }[/math], содержающему идеал [math]\displaystyle{ I }[/math] (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_1}=\mathbb{K}[X]/I' }[/math]. Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем [math]\displaystyle{ \mathbb{K} \subset \mathbb{K_1} }[/math].
На поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_1} }[/math] можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля [math]\displaystyle{ \mathbb{K_1} }[/math] и получим поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_2} }[/math]. Повторяя это [math]\displaystyle{ n }[/math] раз можно получить поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_n} }[/math]. Таким образом, мы имеем башню полей:
- [math]\displaystyle{ \mathbb{K} \subset \mathbb{K_1} \subset \mathbb{K_2} \subset \ldots \subset \mathbb{K_n} \subset \mathbb{K_{n+1}} \subset \ldots }[/math]
Объединение всех этих полей даст поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_{\infty}}=\bigcup_{n=0}^\infty \mathbb{K_n} }[/math]. Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]
См. также
Примечания
- ↑ Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |