Функция Лиувилля

В теории чисел, функция Лиувилля [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math] — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае.

Точнее, пусть [math]\displaystyle{ n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k} }[/math] — факторизация числа, [math]\displaystyle{ p_1 \lt \ldots \lt p_k }[/math] — простые числа, [math]\displaystyle{ a_j }[/math] — натуральные числа. Тогда

[math]\displaystyle{ \lambda(n) = (-1)^{a_1 + \ldots + a_k} }[/math] (последовательность A008836 в OEIS).

Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ n = a^2 b }[/math], где [math]\displaystyle{ b }[/math] — число, свободное от квадратов, то

[math]\displaystyle{ \lambda(n) = \mu(b). }[/math]

Сумма функции по всем делителям [math]\displaystyle{ n }[/math] является характеристической функцией множества точных квадратов:

[math]\displaystyle{ \sum_{d|n}\lambda(d) = \begin{cases} 1 & n = k^2,\; k \in \N \\ 0 & \sqrt{n} \notin \N. \end{cases} }[/math]

Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда

[math]\displaystyle{ \lambda(n) = \sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right). }[/math]

Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math] относительно свёртки Дирихле.

Ряды

Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как

[math]\displaystyle{ \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}. }[/math]

Кроме того,

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)\ln n}{n}=-\zeta(2)=-\frac{\pi^2}{6}. }[/math]

Ряд Ламберта функции имеет вид

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vartheta_3(q) }[/math] — тета-функция Якоби.

Литература

• Pólya, G. (1919). «Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 28: 31–40.
• (1958) «A disproof of a conjecture of Pólya». Mathematika 5: 141–145. doi:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793.
• (1960) «On Liouville's function». Mathematics of Computation 14 (72): 311–320. doi:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5.
• (1980) «A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function». Tokyo Journal of Mathematics 3 (1): 187–189. doi:10.3836/tjm/1270216093.
• Weisstein, Eric W. Liouville Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A.F. Lavrik (2001), Liouville function, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4