Формула трубки
Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестности подмногообразия как многочлен от [math]\displaystyle{ r }[/math]. Предложена Германом Вейлем.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] замкнутое [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерное подмногообразие в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве, соответственно [math]\displaystyle{ k=n-m }[/math] есть коразмерность [math]\displaystyle{ M }[/math].
Обозначим через [math]\displaystyle{ M_r }[/math] [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестность [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда для всех достаточно малых положительных значений [math]\displaystyle{ r }[/math] выполняется равенство
- [math]\displaystyle{ V(M_r)=\omega_{k}\cdot r^{k}\cdot\sum_{m\ge 2\cdot i\ge 0}V_i(M)\cdot \frac{r^{2\cdot i}}{k\cdot(k+2)\cdots(k+2\cdot i)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ V(M_r) }[/math] — объём [math]\displaystyle{ M_r }[/math], [math]\displaystyle{ \omega_k }[/math] — объём единичного шара в [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерном евклидовом пространстве. и
- [math]\displaystyle{ V_i(M)=\int\limits_M p_i(\mathrm{Rm}) }[/math]
для некоторого однородного многочлена [math]\displaystyle{ p_i }[/math] степени [math]\displaystyle{ i }[/math]; здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{Rm} }[/math] обозначает тензор кривизны.
Выражение [math]\displaystyle{ p_i(\mathrm{Rm}) }[/math] — это так называемая кривизна Липшица — Киллинга, она пропоциональна среднему пфафиану тензора кривизны по всем [math]\displaystyle{ (2\cdot i) }[/math]-мерным подпространствам касательного пространства.
Замечания
- Младший ненулевой коэффициент [math]\displaystyle{ V_0(M) }[/math] есть [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерный объём [math]\displaystyle{ M }[/math].
- Если размерность [math]\displaystyle{ M }[/math] чётна, [math]\displaystyle{ m=2\cdot k }[/math], то
- [math]\displaystyle{ V_k=\chi(M), }[/math]
- где [math]\displaystyle{ \chi(M), }[/math] — эйлерова характеристика [math]\displaystyle{ M }[/math].
Следствия
- Объём [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестности [math]\displaystyle{ \gamma_r }[/math] простой замкнутой гладкой кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве при малых [math]\displaystyle{ r }[/math] выражается формулаой
- [math]\displaystyle{ V(\gamma_r)=L(\gamma)\cdot r^{n-1}, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ L(\gamma) }[/math] обозначает длину [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].
- Для гладких замкнутой поверхности [math]\displaystyle{ M }[/math] в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство
- [math]\displaystyle{ V(M_r)=S(M)\cdot r+\tfrac23\cdot \pi\cdot \chi(M)\cdot r^3. }[/math]
- Если два подмногообразия евкидова пространства изометричны, то объёмы их [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестностей совпадают для всех малых положительных [math]\displaystyle{ r }[/math].
Вариации и обобщения
- Формула полутрубки для гиперповерхностей выражает объём односторонней [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестности [math]\displaystyle{ M_r^+ }[/math], она также является многочленом от [math]\displaystyle{ r }[/math], но не все коэффициенты зависят от внутренней кривизны. В частности для поверхностей в трёхмерном пространстве формула полутрубки принимает вид
- [math]\displaystyle{ V(M_r^+)=S(M)\cdot r+\biggl[\int\limits_M H\biggr]\cdot r^2+\tfrac23\cdot \pi\cdot \chi(M)\cdot r^3, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ H }[/math] обозначает среднюю кривизну.
См. также
Литература
- Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (англ.) // American Journal of Mathematics. — 1939. — Vol. 61, no. 2. — P. 461—472.
- Simon Willerton, Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula