Уравнения Швингера

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951 году.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

[math]\displaystyle{ \left \{\frac{\overrightarrow{\delta} S(\varphi)}{\delta \varphi(x)}\bigg|_{\varphi=\chi\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA}}+A(x) \right \}G(A)=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ S(\varphi) }[/math] — функционал действия, [math]\displaystyle{ G(A) }[/math] — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] есть классический объект той же природы, что и поле [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, [math]\displaystyle{ \frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA} }[/math] — левая вариационная производная, [math]\displaystyle{ \chi=+1 }[/math] в бозонном случае, [math]\displaystyle{ \chi=-1 }[/math] в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель [math]\displaystyle{ H(A)=G_0^{-1}G(A) }[/math], где [math]\displaystyle{ G_0 }[/math] — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку [math]\displaystyle{ G(A)=e^{W(A)} }[/math] и сократив после выполнения дифференцирования множитель [math]\displaystyle{ e^{W(A)} }[/math], получим уравнение Швингера для производящего функционала [math]\displaystyle{ W(A) }[/math] связных функций Грина [math]\displaystyle{ W_n }[/math].

Представив [math]\displaystyle{ W(A) }[/math] в виде ряда

[math]\displaystyle{ W(A)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{W_n(iA)^n}{n!}, }[/math]

и сравнивая коэффициенты при всех степенях [math]\displaystyle{ iA }[/math], получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина [math]\displaystyle{ W_n }[/math].

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов [math]\displaystyle{ A^{\mu} (x) }[/math] с источником внешнего электромагнитного поля [math]\displaystyle{ J_{\mu}(x) }[/math] в минимальной форме — [math]\displaystyle{ J_{\mu} A^{\mu} }[/math]. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику [math]\displaystyle{ J_{\mu} (x) }[/math] получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом [math]\displaystyle{ S[J] }[/math] источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

[math]\displaystyle{ \mathcal{A^{\mu}}(x) = \frac{1}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ A^{\mu} (x) S[J] \} \vert 0 \rangle = i \frac {\delta \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ S_0[J] \equiv \langle 0 \vert S[J] \vert 0 \rangle, \mu = 0,1,2,3. }[/math] [math]\displaystyle{ \langle 0 \vert \cdots \vert 0 \rangle }[/math] — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ [math]\displaystyle{ T }[/math] обозначает хронологическое упорядочение операторов, [math]\displaystyle{ \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)}, }[/math] — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

[math]\displaystyle{ G(x,y \vert J) = - \frac{i}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ \psi (x) \overline{\psi} (y) S[J] \} \vert 0 \rangle , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

[math]\displaystyle{ \left \{ \gamma_{\mu} \left [ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} - e \mathcal{A^{\mu}}(x) \right ] - m - i e \gamma_{\mu} \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)} \right \} G(x,y \vert J) = \delta^4 (x - y), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma_{\mu} }[/math] — матрицы Дирака, [math]\displaystyle{ e, m }[/math] — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля [math]\displaystyle{ \mathcal{A^{\mu}}(x) }[/math] получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току [math]\displaystyle{ J }[/math]):

[math]\displaystyle{ \Box \mathcal{A^{\mu}}(x) = -J_{\mu}(x) + i e \mathrm{Tr}[\gamma_{\mu} G(x,x \vert J)], }[/math]

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам [math]\displaystyle{ J_{\mu}(x) }[/math] определить [math]\displaystyle{ G(x,y \vert J) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal{A^{\mu}}(x) }[/math] , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

[math]\displaystyle{ G^{\mu \nu}(x,y \vert J) = - \frac{\delta A^{\mu} (x)}{\delta J^{\nu} (y)} = - i \frac {\delta^2 \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x) \delta J_{\nu} (y)}. }[/math]

Величина [math]\displaystyle{ Z[J] \equiv i \ln S_0[J] }[/math] называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \Gamma_{\mu} (x, y, z) = - \frac{\delta}{\delta A^{\mu}} G^{-1}(x, y \vert J), }[/math]

где [math]\displaystyle{ G^{-1} }[/math] — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература

• Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.
• Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7.