Производящий функционал

Производящий функционал — расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Определение

Производящий функционал корреляционных функций [math]\displaystyle{ G(A) }[/math] определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ G(A) = \langle \exp \left\{ \int\limits_{\Omega} \! \mathrm{d} X \, A_{I}(X) \varphi_{I}(X) \right\} \rangle, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \langle \ldots \rangle }[/math] — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой [math]\displaystyle{ K }[/math] выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ G(A) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} }[/math].

Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:

[math]\displaystyle{ G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle. }[/math]

Связь корреляционных функций с производящим функционалом

Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \dots \varphi(X_n) \rangle, }[/math]

связь между производящим функционалом и корреляционными функциями получается:

[math]\displaystyle{ G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \dots \frac{\delta}{\delta A(X_n)} G (A) \right] _{A=0}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \frac{\delta}{\delta A} }[/math] — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.

Вычисление корреляционных функций

Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:

[math]\displaystyle{ \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} }[/math].

Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала [math]\displaystyle{ G(A) }[/math]. Тогда для парной корреляционной функции получим

[math]\displaystyle{ G_2(X_1,X_2) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} \right] _{A=0} = K^{-1}(X_1, X_2). }[/math]

То есть

[math]\displaystyle{ G_2(X_1,X_2) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \rangle = K^{-1}(X_1, X_2). }[/math]

Другие виды производящих функционалов

Ясно, что определённый так как приведено выше функционал

[math]\displaystyle{ G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle }[/math]

сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра [math]\displaystyle{ A }[/math]. Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения [math]\displaystyle{ \rho[\varphi] }[/math] в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия [math]\displaystyle{ S[\varphi] }[/math]:

[math]\displaystyle{ \rho[\varphi] = C \cdot e ^{ - S[\varphi]}, }[/math]

[math]\displaystyle{ S[\varphi] = \frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + V[\varphi], }[/math]

где [math]\displaystyle{ V[\varphi] }[/math] — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: производящий функционал полных функций Грина

[math]\displaystyle{ G(A) = \frac{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ - S[\varphi]+ \left( A, \varphi \right) \right\}}{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\}}, }[/math]

связных функций Грина

[math]\displaystyle{ W(A) = \ln G(A), }[/math]

и 1-неприводимых функций Грина

[math]\displaystyle{ \Gamma(\alpha) = W(A(\alpha)) - \alpha A, \ \alpha(x) = \frac{\delta W(A)}{\delta A(x)}. }[/math]

Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т. н. константе связи) [math]\displaystyle{ g \sim V[\varphi] }[/math] в диаграммном представлении состоит для [math]\displaystyle{ G(A) }[/math] из всех возможных для данной теории диаграмм, для [math]\displaystyle{ W(A) }[/math] только из связных, а для [math]\displaystyle{ \Gamma(\alpha) }[/math] только из 1-неприводимых.

См. также

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Континуальное распределение Гаусса
• Функциональный интеграл

Литература

• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.