Уравнения Фёппля — фон Кармана

Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля и Теодора фон Кармана, представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин. Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до механических свойств клеточной стенки. Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид:

[math]\displaystyle{ \begin{align} (1) \qquad & \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\nabla^4 w-h\frac{\partial}{\partial x_\beta}\left(\sigma_{\alpha\beta}\frac{\partial w}{\partial x_\alpha}\right)=P \\ (2) \qquad & \frac{\partial\sigma_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta}=0 \end{align} }[/math]

где E — модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), υ — коэффициент Пуассона, h — толщина пластины, w — прогиб пластины вне плоскости, P — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, σ_αβ — тензор напряжений, и α, β — индексы, которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как

[math]\displaystyle{ \begin{align} (1) \qquad & \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\nabla^4 w-h\frac{\partial}{\partial x_\beta}\left(\sigma_{\alpha\beta}\frac{\partial w}{\partial x_\alpha}\right)=P \\ (2) \qquad & \frac{\partial\sigma_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta}=0 \end{align} }[/math]

Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (σ₃₃,σ₁₃,σ₂₃) равны нулю.

Границы применимости

Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно. Ciarlet утверждает, что: двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:

1. теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
2. произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
3. используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
4. произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
5. существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.

Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.

Уравнения в терминах функции напряжений Эйри

Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], где

[math]\displaystyle{ \sigma_{11} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_2^2} ~,~~ \sigma_{22} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1^2} ~,~~ \sigma_{12} = - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1 \partial x_2} \,. }[/math]

Затем эти уравнения сводятся к

[math]\displaystyle{ \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\Delta^2 w-h\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \, \partial x_2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \, \partial x_2}\right)=P }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta^2\varphi+E\left\{\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}-\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \, \partial x_2}\right)^2\right\}=0 \,. }[/math]

Чистый изгиб

Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия [math]\displaystyle{ D\Delta^2\ w=P }[/math], где

[math]\displaystyle{ D :=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)} }[/math]

называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины.

Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа)

При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения u пластины можно выразить как

[math]\displaystyle{ u_1(x_1,x_2,x_3) = v_1(x_1,x_2)-x_3\,\frac{\partial w}{\partial x_1} ~,~~ u_2(x_1,x_2,x_3) = v_2(x_1,x_2)-x_3\,\frac{\partial w}{\partial x_2} ~,~~ u_3(x_1, x_2, x_3) = w(x_1,x_2) }[/math]

где v — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.

Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)

Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как

[math]\displaystyle{ E_{ij} := \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} + \frac{\partial u_k}{\partial x_i}\,\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right] \,. }[/math]

Подстановка выражений для поля смещения даёт

[math]\displaystyle{ \begin{align} E_{11} & = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right)^2\right]\\ &= -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)^2 + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2\right]\\ E_{22} & = \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right)^2\right]\\ &= -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2 + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)^2 + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2\right]\\ E_{33} & = \frac{\partial u_3}{\partial x_3} + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right)^2\right]\\ &= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right]\\ E_{12} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} + \frac{\partial u_1}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right]\\ & = -x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1\partial x_2}\right) + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right) + \frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right]\\ E_{23} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right]\\ & = \frac{1}{2}\left[x_3\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right) + x_3\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) \right]\\ E_{31} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_1}{\partial x_3} + \frac{\partial u_1}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right] \\ & = \frac{1}{2}\left[x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right) + x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right) \right] \end{align} }[/math]

Для малых деформаций, но умеренных поворотов, поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 ~,~~ \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 ~,~~ \frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2} \,. }[/math]

Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана

[math]\displaystyle{ \begin{align} E_{11} & = -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \\ E_{22} & = -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \\ E_{12} & = -x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{2}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\\ E_{33} & = 0 ~,~~ E_{23} = 0 ~,~~ E_{31} = 0 \,. \end{align} }[/math]

Соотношения напряжения–деформации

Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука, пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям мы имеем σ₃₃ = σ₁₃ = σ₂₃ = 0 и

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{E}{(1-\nu^2)} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_{11} \\ E_{22} \\ E_{12} \end{bmatrix} }[/math]

Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sigma_{11} &= \cfrac{E}{(1-\nu^2)}\left[\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \right) + \nu\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right) \right] \\ \sigma_{22} &= \cfrac{E}{(1-\nu^2)}\left[\nu\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \right) + \left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right) \right] \\ \sigma_{12} &= \cfrac{E}{(1+\nu)}\left[-x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac{1}{2}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right] \,. \end{align} }[/math]

Результирующие напряжения

Результирующие напряжения в пластине определяются как

[math]\displaystyle{ N_{\alpha\beta} := \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_{\alpha\beta}\, d x_3 ~,~~ M_{\alpha\beta} := \int_{-h/2}^{h/2} x_3\,\sigma_{\alpha\beta}\, d x_3 \,. }[/math]

Поэтому

[math]\displaystyle{ \begin{align} N_{11} &= \cfrac{Eh}{2(1-\nu^2)}\left[\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 + \nu\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right] \\ N_{22} &= \cfrac{Eh}{2(1-\nu^2)}\left[\nu\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right] \\ N_{12} &= \cfrac{Eh}{2(1+\nu)}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2} \end{align} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \begin{align} M_{11} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} \right] \\ M_{22} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} \right] \\ M_{12} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1+\nu)}\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} \,. \end{align} }[/math]

Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.

Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения

Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения

[math]\displaystyle{ \begin{align} &\frac{\partial^2 M_{11}}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 M_{22}}{\partial x_2^2} + 2\frac{\partial^2 M_{12}}{\partial x_1\partial x_2} + \frac{\partial}{\partial x_1}\left(N_{11}\,\frac{\partial w}{\partial x_1} + N_{12}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) + \frac{\partial}{\partial x_2}\left(N_{12}\,\frac{\partial w}{\partial x_1} + N_{22}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) = P \\ & \frac{\partial N_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta} = 0 \,. \end{align} }[/math]