Перейти к содержанию

Уравнение Бете — Солпитера

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Уравнение Бете — Солпитера, названое в честь Х. Бете и Э. Солпитера, описывает связанные состояния двухчастичной квантовополевой системы в релятивистски ковариантной форме. Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу, но без вывода.[1]

Интегральная форма записи уравнения Бете — Солпитера

Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете — Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции ψa (где a — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

ψ(x2)=idσ(x1)SF(x2,x1)n/(x1)ψ(x1),

Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», n(x1) — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объёма, включающего в себя событие x2, SF. — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения[2]:

(i/m0)SF=δ4(xx)(1),

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

ψab(x3,x4)=dσ(x1)dσ(x2)Sab(x3,x1x4,x2)n/(x1)n/(x2)ψab(x1,x2)(2),

Здесь ψab — спинор, обладающий двумя спинорными индексами a,b. В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:

S0ab(x3,x4;x1,x2)=iSFa(x3,x1)SFb(x4,x2)

Однако это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, Sab представляется в виде:

Sab(x3,x4;x1,x2)=iSFa(x3,x1)SFb(x4,x2)+Σ

Под Σ понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем, как некоторое ядро K. Мы будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда K можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм K. Можно показать[3], что выражение для Sab(x3,x4;x1,x2) может быть переписано как:

Sab(x3,x4;x1,x2)=iSFa(x3,x1)SFb(x4,x2)+d4x5d4x6d4x7d4x8iSFa(x3,x5)iSFb(x4,x6)Kab(x5,x6;x7,x8)Sab(x7,x8;x1,x2)

Подставляя это выражение в (2) получаем уравнение Бете — Солпитера:

ψab(x1,x2)=φab(x1,x2)+d4x3d4x4d4x5d4x6iSFa(x1,x5)iSFb(x2,x6)Kab(x5,x6;x3,x4)ψab(x3,x4)(3)

В этом выражении φab — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Интегро-дифференциальная форма записи уравнения Бете — Солпитера. Запись в p-пространстве

Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами (i/1ma),(i/2mb), в силу (1) получим следующее выражение:

(i/1ma)(i/2mb)ψab(x1,x2)=d4x3d4x4Kab(x1,x2;x3,x4)ψab(x3,x4)

Соответственно вместо интегрального уравнения типа Фредгольма, мы получаем интегро-дифференциальное уравнение на двухчастичную волновую функцию ψab(x1,x2). Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера, является запись в импульсном пространстве, а именно, определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции ψab(x1,x2) следующим образом:

χab(p1,p2)=1(2π)4d4x1d4x2ei(p1x1+p2x2)ψab(x1,x2)

Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:

1(2π)4d4x1d4x2ei(p1x1+p2x2)(i/1ma)(i/2mb)ψab(x1,x2)=1(2π)4d4x1d4x2d4x3d4x4ei(p1x1+p2x2)Kab(x1,x2;x3,x4)ψab(x3,x4)

В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:

1(2π)4d4x1d4x2[(i/1ma)(i/2mb)ei(p1x1+p2x2)]ψab(x1,x2)==1(2π)4d4x1d4x2d4x3d4x4d4x3d4x4ei(p1x1+p2x2)δ4(x3x3)δ4(x4x4)Kab(x1,x2;x3,x4)ψab(x3,x4)

Используя импульсное представление дельта-функций со штрихованными переменными мы можем переписать ядро Kab в импульсном представлении, а именно:

Kab(p1,p2;p3,p4)=1(2π)8d4x1d4x2d4x3d4x4ei(p1x1+p2x2p3x3p4x4)Kab(x1,x2;x3,x4)

Используя это, мы получаем уравнение Бете-Солпитера в импульсной форме:

(p1ma)(p2mb)χab(p1,p2)=d4p1d4p2Kab(p1,p2;p1,p2)χab(p1,p2)

Другие представления

В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:

Γ(P,p)=d4k(2π)4K(P,p,k)S(kP2)Γ(P,k)S(k+P2),

где Γ — амплитуда Бете — Солпитера, K описывает взаимодействие двух частиц, а S — их пропагатор.

Так как данное уравнение может быть получено путём отождествления связанных состояний[англ.] с полюсами S-матрицы, то его можно связать с квантовым описанием процессов рассеяния и функциями Грина.

Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.

Примечания

  1. Y. Nambu. Force Potentials in Quantum Field Theory (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1950. — Vol. 5, no. 4. — doi:10.1143/PTP.5.614.
  2. Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Quantum Chromodynamics. — 3rd. — Springer, 2007. — С. 46—47. — 475 с.
  3. Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Quantum Chromodynamics. — Springer. — С. 347—348. — 475 с.

Литература

  • W. Greiner, J. Reinhardt. Quantum Electrodynamics. — 3rd. — Springer (publisher), 2003. — ISBN 978-3-540-44029-1.
  • N. Nakanishi. A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1969. — Vol. 43. — P. 1–81. — doi:10.1143/PTPS.43.1.
  • Н.Н Боголюбов, Д.В Ширков, Введение в теорию квантованных полей,1973