Лоренц-ковариантность

Лоренц-ковариантность — свойство систем математических уравнений, описывающих физические законы, сохранять свой вид при применении преобразований Лоренца^[1]. Более точно, всякий физический закон должен представляться релятивистски инвариантной системой уравнений, т.е. инвариантной относительно полной ортохронной неоднородной группы Лоренца.^[2] Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории^{[уточнить]} пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась лоренц-ковариантность^{[источник не указан 4026 дней]}.

Терминология

Лоренц-ковариантность физических законов

Лоренц-ковариантность физических законов — конкретизация принципа относительности (то есть постулируемого требования независимости результатов физических экспериментов и записи уравнений от выбора конкретной системы отсчёта). Исторически эта концепция стала ведущей при включении в сферу действия принципа относительности (раньше формулировавшегося с применением не преобразования Лоренца, а преобразования Галилея) максвелловской электродинамики, уже тогда лоренц-ковариантную и не имевшую видимых возможностей переделки для ковариантности относительно преобразований Галилея, что привело к распространению требования лоренц-ковариантности и на механику и вследствие этого к изменению последней.

Преобразования Лоренца удобно рассматривать как вращения и специальные преобразования в четырёхмерном пространстве и использовать для их описания векторный и тензорный анализ. Благодаря этому запись систем математических уравнений, описывающих законы природы, в векторной и тензорной форме, позволяет сразу же определить их лоренц-ковариантность, не выполняя преобразование Лоренца.^[3]

Лоренц-инвариантные величины

Лоренц-инвариантностью называют свойство какой-нибудь величины сохраняться при преобразованиях Лоренца (обычно имеется в виду скалярная величина, однако встречается и применение этого термина к 4-векторам или тензорам, имея в виду не их конкретное представление, а «сами геометрические объекты»).

Согласно теории представлений группы Лоренца, лоренц-ковариантные величины, помимо скаляров, строятся из 4-векторов, спиноров и их тензорных произведений (тензорные поля).

«Ковариантность» vs «инвариантность»

В последнее время наметилось вытеснение термина лоренц-ковариантность термином лоренц-инвариантность, который всё чаще применяется равно и к законам (уравнениям), и к величинам ^{[источник не указан 4924 дня]}. Трудно сказать, является ли это уже нормой языка, или всё же скорее некоторой вольностью употребления. Однако в более старой литературе^{[какой?]} имелась тенденция строгого разграничения этих терминов: первый (ковариантность) употреблялся по отношению к уравнениям и многокомпонентным величинам (представлениям тензоров, в том числе векторов, и самим тензорам, так как часто не проводилось терминологической грани между тензором и набором его компонент), подразумевая согласованное изменение компонент всех входящих в равенства величин или просто согласованное друг с другом изменение компонент разных тензоров (векторов); второй же (инвариантность) применялся, как более частный, к скалярам (также к скалярным выражениям), подразумевая простую неизменность величины.

Примеры

Скаляры

Синонимом слов лоренц-инвариантная величина в 4-мерном пространственно-временном формализме является термин скаляр, который для полной конкретизации подразумеваемого контекста иногда называют лоренц-инвариантным скаляром.

Скорость света в вакууме.

Интервал:

[math]\displaystyle{ \Delta s^2=\eta_{ab} x^a x^b=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2\ }[/math]

Собственное время:

при равномерном движении:

[math]\displaystyle{ \Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 \gt 0 }[/math]

в общем случае:

[math]\displaystyle{ \Delta \tau = \int d\tau = \frac 1c\int \sqrt{(ds)^2} = \int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt,\ \ }[/math] где [math]\displaystyle{ v }[/math] — величина трехмерной скорости, причем подразумевается, что всюду [math]\displaystyle{ (ds)^2 \gt 0, v\lt c }[/math]

Действие для массивной бесструктурной точечной частицы массы m:

[math]\displaystyle{ S = mc^2\Delta \tau =mc\int \sqrt{(ds)^2} = mc^2\int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} dt }[/math]

Инвариантная масса m:

[math]\displaystyle{ m^2 c^2 =\eta_{ab} p^a p^b= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2 }[/math]

Электромагнитные инварианты (из теории Максвелла):

[math]\displaystyle{ F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ G_{cd}F^{cd}=\frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = -\frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right) }[/math]

Волновой оператор (оператор Даламбера):

[math]\displaystyle{ \Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} }[/math]

(при данном выборе сигнатуры метрики Минковского η приведенный вид оператора совпадает с традиционным определением оператора Даламбера с точностью до знака).

4-векторы

[math]\displaystyle{ x^a = [ct, x, y, z]\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_a = \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ U^a = \frac{dx^a}{cd\tau} = \frac{1}{c\sqrt{1 - v^2/c^2}} \left[c, v_x, v_y, v_z\right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ v_x = \frac{dx}{dt}, v_y = \frac{dy}{dt}, v_z = \frac{dz}{dt}, v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ p^a = m_0 U^a = \left[\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ j ^a = [c\rho, j_x, j_y, j_z]\ }[/math]

Тензоры

[math]\displaystyle{ \delta^a_b = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b = 0, \\ -1 & \mbox{if }a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \epsilon_{abcd} = -\epsilon^{abcd} = \begin{cases} +1 & \mbox{если } \{abcd\} \mbox{ четная перестановка } \{0123\}, \\ -1 & \mbox{если } \{abcd\} \mbox{ нечетная перестановка } \{0123\}, \\ 0 & \mbox{во всех прочих случаях.} \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ F_{ab} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{bmatrix} }[/math]

См. также

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность Лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Примечания

↑ Эйнштейн А. К проблеме относительности // Альберт Эйнштейн Собр. науч. тр. в 4 т. — М. Наука, 1965. — т. 1, с. 30
↑ Ломсадзе Ю. М. Теоретико-групповое введение в физику элементарных частиц. — М., Высшая школа, 1962. — c. 114
↑ Паули, 1983, с. 42.

Литература

Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1983. — 336 с.

[1] Эйнштейн А. К проблеме относительности // Альберт Эйнштейн Собр. науч. тр. в 4 т. — М. Наука, 1965. — т. 1, с. 30

[2] Ломсадзе Ю. М. Теоретико-групповое введение в физику элементарных частиц. — М., Высшая школа, 1962. — c. 114

[_c6b1a20512ea7f76-3] Паули, 1983, с. 42.

[1]

[2]

[3]