Тонкая структура
Тонкая структура (мультиплетное расщепление) — явление в атомной физике, описывающее расщепление спектральных линий (уровней энергии, спектральных терм) атома.
Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.
Релятивистские поправки
В классической теории кинетический член гамильтониана: [math]\displaystyle{ T=\frac{p^{2}}{2m} }[/math]
Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, [math]\displaystyle{ T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2} }[/math]
где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем
[math]\displaystyle{ T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots }[/math]
Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна [math]\displaystyle{ H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}} }[/math]
Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.
[math]\displaystyle{ E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle }[/math]
где [math]\displaystyle{ \psi^{0} }[/math] — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим
[math]\displaystyle{ H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\frac{p^{2}}{2m}+U\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle }[/math]
[math]\displaystyle{ p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-U)\vert\psi^{0}\rangle }[/math]
Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:
[math]\displaystyle{ E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle }[/math]
[math]\displaystyle{ E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert\psi^{0}\rangle }[/math]
[math]\displaystyle{ E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle ) }[/math]
Для атома водорода, [math]\displaystyle{ U=\frac{e^{2}}{r} }[/math], [math]\displaystyle{ \langle U\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} }[/math] и [math]\displaystyle{ \langle U^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}} }[/math] где [math]\displaystyle{ a_{0} }[/math] — боровский радиус, [math]\displaystyle{ n }[/math] — главное квантовое число и [math]\displaystyle{ l }[/math] — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна
[math]\displaystyle{ E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right) }[/math]
Связь спин-орбита
Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, [math]\displaystyle{ \vec B }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec\mu_s }[/math] сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида [math]\displaystyle{ \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S }[/math]
Спонтанное рождение электронно-позитронных пар
Спонтанное рождение электронно-позитронных пар вблизи электрона приводит к тому, что локализация электрона в атоме в области, меньшей его комптоновской длины волны [math]\displaystyle{ \Delta x = \frac{\hbar}{mc} }[/math] невозможна и в результате возникает квадратичная флуктуация положения электрона [math]\displaystyle{ \Delta x^2 }[/math]. В результате внутри ядра потенциальная энергия электрона изменяется. Сдвиг энергии составляет: [math]\displaystyle{ \Delta E_{ep} = m (Z \alpha)^4 }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса электрона, [math]\displaystyle{ Z }[/math] — эффективный заряд ядра, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — постоянная тонкой структуры.[1]
См. также
Литература
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.
- Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (англ.). — Addison-Wesley, 2002.
Ссылки
Примечания
- ↑ В. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. М., Высшая школа, 1964. — с. 18-19