Боровская модель атома

Боровская модель водородоподобного атома (Z — заряд ядра), где отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро. Переход электрона с орбиты на орбиту сопровождается излучением или поглощением кванта электромагнитной энергии (hν).

Бо́ровская моде́ль а́тома (моде́ль Бо́ра, моде́ль Бо́ра — Резерфо́рда) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Эрнестом Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают энергию, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка: [math]\displaystyle{ m_evr = n\hbar \ }[/math].

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты [math]\displaystyle{ R_n }[/math] и энергии [math]\displaystyle{ E_n }[/math] находящегося на этой орбите электрона:

[math]\displaystyle{ R_n = 4\pi \frac{\varepsilon_0}{Ze^2} \frac{n^2\hbar^2} {m_e}; \quad E_n = - \frac{1}{8\pi} \frac{Ze^2}{\varepsilon_0}\frac{1}{R_n}; }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ m_e }[/math] — масса электрона, [math]\displaystyle{ Z }[/math] — количество протонов в ядре, [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] — электрическая постоянная, [math]\displaystyle{ e }[/math] — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера в задаче о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R₀=5,2917720859(36)⋅10⁻¹¹ м, ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты [math]\displaystyle{ E_0=-13.6 }[/math] эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория Бора

Основана на двух постулатах Бора:

• Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определённая энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
• Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
  1. [math]\displaystyle{ \varepsilon=E_{n2}-E_{n1}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \ \varepsilon }[/math] — излучённая (поглощённая) энергия, [math]\displaystyle{ \ n_1,n_2 }[/math] — номера квантовых состояний. В спектроскопии [math]\displaystyle{ \ E_{n1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \ E_{n2} }[/math] называются термами.
  2. Правило квантования момента импульса: [math]\displaystyle{ \ m\upsilon r=n\hbar, }[/math] [math]\displaystyle{ \ n=1,2,3... }[/math]

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

[math]\displaystyle{ \ r_n=an^2, }[/math] [math]\displaystyle{ a=\frac{\hbar^2}{kme^2}=5.3\cdot10^{-11} }[/math] м — боровский радиус.

[math]\displaystyle{ \ E_n=-R_y\frac{1}{n^2}, }[/math] [math]\displaystyle{ R_y=\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2} }[/math] — энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — Дирака

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

[math]\displaystyle{ \oint\mathbf{p} \cdot\,\mathbf{dq} = \frac {W}{\nu} = J }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{p},\mathbf{q} }[/math] — обобщённый импульс и координаты электрона, [math]\displaystyle{ W }[/math] — энергия, [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой [math]\displaystyle{ pq }[/math] — плоскости за один период движения, равна целому числу, умноженному на постоянную Планка [math]\displaystyle{ h }[/math] (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

[math]\displaystyle{ J_1 = nh \ }[/math], [math]\displaystyle{ J_2 = kh \ }[/math],

где [math]\displaystyle{ n }[/math] определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона ([math]\displaystyle{ a }[/math]), а [math]\displaystyle{ k }[/math] — его фокальный параметр [math]\displaystyle{ q }[/math]:

[math]\displaystyle{ a = a_0n^2 \ }[/math], [math]\displaystyle{ q = a_0k^2 \ }[/math].

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

[math]\displaystyle{ E = -\frac {RyZ^2}{n^2} + \epsilon(n,k) }[/math].

где [math]\displaystyle{ Ry }[/math] — постоянная Ридберга, а [math]\displaystyle{ Z }[/math] — порядковый номер атома (для водорода [math]\displaystyle{ Z = 1 }[/math]).

Дополнительный член [math]\displaystyle{ \epsilon(n, k) }[/math] отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом [math]\displaystyle{ k }[/math]. Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния ([math]\displaystyle{ n=n_1, k=1,2 ,..., n_1 }[/math]) и низшего состояния ([math]\displaystyle{ n = n_2, k = 1,2 ,..., n_2 }[/math]). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов ([math]\displaystyle{ H }[/math], [math]\displaystyle{ He^{+} }[/math] , [math]\displaystyle{ Li^{2+} }[/math]), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия [math]\displaystyle{ He^{+} }[/math] установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

[math]\displaystyle{ E + E_0 = E_0 \left( 1 + \frac {\alpha^2Z^2}{\left( n_r + \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — постоянная тонкой структуры, [math]\displaystyle{ Z }[/math] — порядковый номер атома, [math]\displaystyle{ E_0 = mc^2 }[/math] — энергия покоя, [math]\displaystyle{ n_r }[/math] — радиальное квантовое число, а [math]\displaystyle{ n_\phi }[/math] — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связано с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае [math]\displaystyle{ Z = 1 }[/math] (атом водорода) величина расщепления близка к

[math]\displaystyle{ E/h \approx R\alpha^2/n^2 }[/math]

Поскольку длина электромагнитной волны равна

[math]\displaystyle{ \lambda = c/\nu = ch/E = cn^2/R\alpha^2 \approx 0,17cm }[/math]

Поэтому для [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] это будет почти 1 см.

Достоинства теории Бора

• Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
• Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
• Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.

Недостатки теории Бора

• Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
• Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева без экспериментальных данных (энергии ионизации или других).
• Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования широко используются и в наши дни как приближённые соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Экспериментальное подтверждение теории Бора

Основная статья: Опыт Франка — Герца

В 1913 году Франк и Герц поставили опыт, косвенно подтверждающий теорию Бора: атомы разреженного газа обстреливались медленными электронами с последующим исследованием распределения электронов по абсолютным значениям скоростей до и после столкновения. При упругом ударе распределение не должно меняться, так как изменяется только направление вектора скорости. Результаты показали, что при скоростях электронов меньше некоторого критического значения удары упруги, а при критической скорости столкновения становятся неупругими, электроны теряют энергию, а атомы газа переходят в возбуждённое состояние. При дальнейшем увеличении скорости удары снова становились упругими, пока не достигалась новая критическая скорость. Наблюдаемое явление позволило сделать вывод о том, что атом может или вообще не поглощать энергию, или же поглощать в количествах равных разности энергий стационарных состояний.

Литература

• Борн М. Атомная физика, 2-е изд. — М.: Мир, 1967, 493 с.
• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985, 379 с.
• Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017, 246 с. ISBN 978-5-397-05872-8.