Тождество Похожаева

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Шредингера

Приведём общую форму, предложенную А. Берестицким и П.-Л. Лионсом.

Положим [math]\displaystyle{ g(s) }[/math] в качестве непрерывной вещественной функции, с [math]\displaystyle{ g(0)=0 }[/math]. Определим [math]\displaystyle{ G(s)=\int_0^s g(t)\,dt }[/math]. Пусть

[math]\displaystyle{ u\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\R^n), \qquad \nabla u\in L^2(\R^n), \qquad G(u)\in L^1(\R^n), \qquad n\in\N, }[/math]

будет решением уравнения

[math]\displaystyle{ -\nabla^2 u=g(u) }[/math],

в терминах распределений. Тогда [math]\displaystyle{ u }[/math] удовлетворяет соотношению

[math]\displaystyle{ \frac{n-2}{2}\int_{\R^n}|\nabla u(x)|^2\,dx=n\int_{\R^n}G(u(x))\,dx. }[/math]

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Дирака

Существует форма вириального тождества для стационарного нелинейного уравнения Дирака в трёх пространственных измерениях (а также уравнения Максвелла-Дирака) и в произвольном пространственном измерении. Положим [math]\displaystyle{ n\in\N,\,N\in\N }[/math] и пусть [math]\displaystyle{ \alpha^i,\,1\le i\le n }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] будут самосопряжёнными матрицами Дирака размера [math]\displaystyle{ N\times N }[/math]:

[math]\displaystyle{ \alpha^i\alpha^j+\alpha^j\alpha^i=2\delta_{ij}I_N, \quad \beta^2=I_N, \quad \alpha^i\beta+\beta\alpha^i=0, \quad 1\le i,j\le n. }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ D_0=-\mathrm{i}\alpha\cdot\nabla=-\mathrm{i}\sum_{i=1}^n\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} }[/math] будет безмассовым оператором Дирака. Положим [math]\displaystyle{ g(s) }[/math] в качестве непрерывной вещественной функции, с [math]\displaystyle{ g(0)=0 }[/math]. Определим [math]\displaystyle{ G(s)=\int_0^s g(t)\,dt }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ \phi\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\R^n,\C^N) }[/math] будет спинорным решением, удовлетворяющим стационарной форме нелинейного уравнения Дирака,

[math]\displaystyle{ \omega\phi=D_0\phi+g(\phi^\ast\beta\phi)\beta\phi, }[/math]

в терминах распределений, с некоторой [math]\displaystyle{ \omega\in\R }[/math]. Предположим, что

[math]\displaystyle{ \phi\in H^1(\R^n,\C^N),\qquad G(\phi^\ast\beta\phi)\in L^1(\R^n). }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \phi }[/math] удовлетворяет

[math]\displaystyle{ \omega\int_{\R^n}\phi(x)^\ast\phi(x)\,dx =\frac{n-1}{n}\int_{\R^n}\phi(x)^\ast D_0\phi(x)\,dx +\int_{\R^n}G(\phi(x)^\ast\beta\phi(x))\,dx. }[/math]

См. также

• Теорема о вириале
• Теорема Деррика