Вириал
Вириал для множества
где
Выражение «вириал» происходит от латинских слов «vis», «viris» — «сила» или «энергия». Оно было введено Клаузиусом в 1870 году.
Теорема о вириале
Для стабильной системы, связанной потенциальными силами, справедлива теорема о вириале[1]:
где
В частном случае, когда соответствующая силе потенциальная энергия взаимодействия
Другими словами, удвоенная средняя полная кинетическая энергия
Значение теоремы о вириале состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, недоступных для точного решения, которые рассматривает, например, статистическая механика. Например, теорему о вириале можно использовать, чтобы вывести эквипарциальную теорему (теорема о равномерности распределении энергии по степеням свободы) или вычислить предел Чандрасекара для устойчивости белого карлика.
Производная по времени и усреднение
С вириалом тесно связана другая скалярная функция:
где
Производную по времени от функции
или в более простой форме
Здесь
Усреднение этой производной за время
откуда мы получим точное решение
Вириальная теорема
Вириальная теорема утверждает:
Если
, то
Имеется несколько причин того, почему усреднение производной по времени исчезает, то есть
Данный вывод справедлив лишь для тех систем, в которых функция
Соотношение с потенциальной энергией
Полная сила
где
Поскольку отсутствует самодействие (то есть
где мы предположим, что выполняется третий закон Ньютона, то есть
Часто случается, что силы могут быть получены из потенциальной энергии
который равен по модулю и противоположен по направлению вектору
Применение к силам, зависящим от расстояния степенным образом
Часто оказывается, что потенциальная энергия
где коэффициент
где
В тех случаях, когда среднее от производной по времени
Обычно приводимый пример — гравитационное притяжение, для которого
Этот результат является замечательно полезным для сложных гравитационных систем, типа солнечная система или галактика, и выполняется ещё для электростатической системы, для которой
Хотя это выражение получено для классической механики, вириальная теорема верна и для квантовой механики.
Учёт электромагнитных полей
Вириальную теорему можно обобщить на случай электрических и магнитных полей. Результат:[3]
где
и
Плазмоид — ограниченная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью вириальной теоремы легко показать, что любая такая конфигурация расширяется, если не сдерживается внешними силами. В конечной конфигурации поверхностный интеграл исчезнет без оказывающих давление стен или магнитных катушек. Так как все другие слагаемые справа положительные, ускорение момента инерции также будет положительно. Легко оценить время расширения
где
Релятивистская однородная система
В случае, когда в физической системе учитывается поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорений частиц, теорема вириала в релятивистской форме записывается так:[4]
причём величина
Анализ интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя понятия температуры:[5]
где
В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом: [6]
где энергия
рассматривается как кинетическая энергия поля, связанная с 4-током
задаёт потенциальную энергию поля, находимую через компоненты электромагнитного тензора.
См. также
Примечания
- ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М.: Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 141.
- ↑ Доказательство этого равенства
- ↑ Schmidt G. Physics of High Temperature Plasmas. — Second edition. — Academic Press, 1979. — p. 72.
- ↑ Fedosin, S. G. The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic system in the general field concept (англ.) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. — 2016. — Vol. 29, no. 2. — P. 361—371. — doi:10.1007/s00161-016-0536-8. — . — arXiv:1801.06453.
- ↑ Fedosin, Sergey G. The integral theorem of generalized virial in the relativistic uniform model (англ.) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. — 2018. — 24 September (vol. 31, no. 3). — P. 627—638. — ISSN 1432-0959. — doi:10.1007/s00161-018-0715-x. — . — arXiv:1912.08683.
- ↑ Fedosin S.G. The Integral Theorem of the Field Energy. Архивная копия от 23 июня 2019 на Wayback Machine Gazi University Journal of Science. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783.
Литература
- Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd. ed. — Addison-Wesley, 1980. — ISBN 0-201-02918-9.