Теорема Деррика
Теорема Деррика — это фундаментальная теорема, которая гласит, что солитонные решения нелинейных волновых уравнений или уравнения Клейн-Гордона в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.
Формулировка
В работе 1964 г. [1] Г. Деррик проанализировал устойчивость локализованных стационарных решений в различных вариантах теории поля. Он показал, что решения нелинейных волновых уравнений в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.
Теорема Деррика формулируется следующим образом: Пусть [math]\displaystyle{ \phi_a }[/math] скалярное поле и [math]\displaystyle{ L }[/math] - плотность лагранжиана этого скалярного поля, а плотность энергии [math]\displaystyle{ \epsilon = \epsilon_4 + \epsilon_2 + \epsilon_0 }[/math] где:
[math]\displaystyle{ \epsilon_0=g(\Phi) }[/math]
[math]\displaystyle{ \epsilon_2=||\partial_j \Phi||^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \epsilon_4=f(\Phi)\partial_j \phi^a \partial_k \phi^b \partial_l \phi^c \partial_m \phi^d M_{abcd}^{jklm}(\Phi) }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] такие гладкие отображения [math]\displaystyle{ P \to C }[/math], что соответствующие интегралы [math]\displaystyle{ E_2, E_4, E_0 }[/math] конечны и положительны. Тогда плотность Лагранжиана не имеет стационарных локализованных стабильных решений, если
- [math]\displaystyle{ (2 - D) E_2 + (4 - D) E_4 - D E_0 \neq 0 }[/math]
Это приводит к уравнению, которое называется вириальной теоремой для солитонов
- [math]\displaystyle{ \left( \frac{d}{d \lambda} E_\lambda \right)\Bigl|_{\lambda=1} = (2 - D) E_2 + (4 - D) E_4 - D E_0 = 0 }[/math]
Ссылки
- ↑ G.H. Derrick. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles (англ.) // J. Mathematical Phys. : journal. — 1964. — Vol. 5. — P. 1252—1254. — doi:10.1063/1.1704233. — .