Теория Гинзбурга — Ландау

Теория Гинзбурга — Ландау (также теория Гинзбурга — Ландау — Абрикосова — Горькова или ГЛАГ-теория) — созданная в начале 1950-х годов В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау феноменологическая теория сверхпроводимости.

Теория построена исходя из следующего вида лагранжиана:

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}= \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi\nabla\psi^\star+ \alpha|\psi|^2 + \beta|\psi|^4 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — комплексное поле пар Купера, [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] — оператор ковариантного дифференцирования относительно электромагнитного потенциала [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math], а [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — эмпирические постоянные.

Функционал свободной энергии имеет вид:

[math]\displaystyle{ F=F_n+\int\biggl\{\alpha|\psi|^2+\frac{\beta}{2}|\psi|^4+\frac{1}{2m}\left|\left(-i\hbar\nabla-2e\mathbf{A}\right)\psi\right|^2+\frac{|\mathbf{H}|^2}{2\mu_0}\biggr\}dV }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_n }[/math] — свободная энергия в нормальной фазе, а [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] — магнитное поле.

Варьируя этот функционал по [math]\displaystyle{ \psi }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math], мы приходим к уравнениям Гинзбурга — Ландау:

[math]\displaystyle{ \alpha\psi+\beta|\psi|^2\psi+\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\nabla-2e\mathbf{A}\right)^2\psi=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{J}=\frac{2e}{m}\left(\psi^*\left(-i\hbar\nabla-2e\mathbf{A}\right)\psi\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{J} }[/math] — электрический ток.

Уравнения Гинзбурга — Ландау ведут ко многим интересным выводам. Одним из них является существование двух характерных длин в сверхпроводниках. Первая — это длина когерентности [math]\displaystyle{ \xi }[/math]:

[math]\displaystyle{ \xi=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m|\alpha|}}, }[/math]

которая описывает термодинамические флуктуации в сверхпроводящей фазе.

Зависимость намагниченности от магнитного поля для разных значений параметра [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]. Наклонная прямая, проходящая через начало координат, отвечает полному эффекту Мейсснера, когда магнитное поле в глубине сверхпроводника полностью экранируется. У сверхпроводников второго рода в интервале магнитных полей имеет место частичный эффект Мейсснера (смешанное состояние сверхпроводника).

И вторая — глубина проникновения магнитного поля [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lambda=\sqrt{\frac{m}{4\mu_0 e^2\psi_0^2}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \psi_0 }[/math] — это равновесное значение функции состояния в отсутствие электромагнитного поля.

Отношение [math]\displaystyle{ \varkappa=\lambda/\xi }[/math] называют параметром Гинзбурга — Ландау. Известно, что у сверхпроводников I типа [math]\displaystyle{ \varkappa\lt 1/\sqrt{2} }[/math], а у сверхпроводников II типа [math]\displaystyle{ \varkappa\gt 1/\sqrt{2} }[/math]. Это было подтверждено теорией Гинзбурга — Ландау.

Одним из самых важных следствий теории Гинзбурга — Ландау являлось нахождение вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II типа, находящихся в сильном магнитном поле.

Коэффициенты в уравнении Гинзбурга — Ландау были в 1959 году вычислены Л. П. Горьковым на основе микроскопической теории сверхпроводимости.

Литература

• Гинзбург, В. Л. и Ландау, Л. Д. К теории сверхпроводимости (рус.) // ЖЭТФ. — 1950. — Т. 20. — С. 1064.
• Гинзбург В. Л.  // ЖЭТФ. — 1957. — Т. 32. — С. 1442.
• Горьков, Л. П.  // ЖЭТФ. — 1959. — Т. 36. — С. 1364.
• Максимов, Е. Г. О Гинзбурге — Ландау и немного о других (рус.) // УФН. — 2010. — Т. 180. — С. 1231—1237.