Теорема о расщеплении
Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.
Формулировка
Предположим, в полном римановом многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] с неотрицательной кривизной Риччи имеется прямая, то есть геодезическая [math]\displaystyle{ \gamma\colon\mathbb{R}\to M }[/math], такая, что
- [math]\displaystyle{ d(\gamma(u),\gamma(v))=|u-v| }[/math]
для всех
- [math]\displaystyle{ u, v\in\mathbb{R}. }[/math]
Тогда [math]\displaystyle{ M }[/math] изометрично произведению
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\times L, }[/math]
где [math]\displaystyle{ L }[/math] есть риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи.
Более того, можно показать, что [math]\displaystyle{ \gamma(t)=(t,x) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ x\in L }[/math].
История
Для поверхностей теорема была доказана Кон-Фоссеном.[1] Топоногов обобщил её на многообразия с неотрицательной секционной кривизной.[2] Чигер и Громолл доказали, что неотрицательность кривизны Риччи является достаточным условием.[3]
Позже аналогичная теорема была доказана для лоренцевых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи во времениподобных направлениях.[4][5][6]
Ссылки
- ↑ S. Cohn-Vossen, “Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken”, Матем. сб., 1(43):2 (1936), 139–164; Перевод на русский А. С. Солодовникова, «Полная кривизна и геодезические линии на односвязных открытых полных поверхностях», с. 249—287 в книге Кон-Фоссен, С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — Государственное Издательство Физико-Математической Литературы, 1959. — 303 с.
- ↑ Toponogov, V. A. Riemannian spaces containing straight lines.
- ↑ Jeff Cheeger; Detlef Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.
- ↑ Eschenburg, J.-H. The splitting theorem for space-times with strong energy condition.
- ↑ Galloway, Gregory J.(1-MIAM) The Lorentzian splitting theorem without the completeness assumption.
- ↑ Newman, Richard P. A. C. A proof of the splitting conjecture of S.-T. Yau.