Теорема о замкнутом графике

Формулировки

Линейный оператор [math]\displaystyle{ T:\, X\to Y }[/math] между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график [math]\displaystyle{ \Gamma_T:=\{(x,y)\in X\times Y | y=Tx\} }[/math] замкнут в пространстве [math]\displaystyle{ X\times Y }[/math].
Линейный оператор [math]\displaystyle{ T:\, X\to Y }[/math] между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset X }[/math], такой что [math]\displaystyle{ x_n\to x }[/math] и [math]\displaystyle{ Tx_n\to y }[/math], выполняется [math]\displaystyle{ y=Tx }[/math].

Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.