Теорема Хеллингера — Тёплица

Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — гильбертово пространство. Если для линейного оператора [math]\displaystyle{ A:\,H\to H }[/math] существует линейный оператор [math]\displaystyle{ B:\,H\to H }[/math], удовлетворяющий условию [math]\displaystyle{ (Ax,y)=(x,By)\; \forall x,y\in H }[/math], то оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] является ограниченным.

В частности, ограниченным является любой симметрический оператор, заданный на всем пространстве, то есть линейный оператор, удовлетворяющий условию [math]\displaystyle{ (Ax,y)=(x,Ay)\; \forall x,y\in H }[/math].

Замечания

Существенным условием теоремы является условие определённости оператора на всём гильбертовом пространстве.

Следствия

• Всякий симметрический оператор, определённый на всём гильбертовом пространстве, является самосопряжённым.
• Самосопряжённый неограниченный оператор не может быть определён на всём гильбертовом пространстве.