Теорема Шпильрайна
Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.
Формулировка
Любое отношение частичного порядка [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math], заданное на некотором множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], может быть продолжено до отношения линейного порядка.
Доказательство
Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).
Обобщения и усиления
Теорема Душника — Миллера
Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.
Случай групп
Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы [math]\displaystyle{ G }[/math], когда он удовлетворяет следующему условию:
для каждого конечного множества элементов [math]\displaystyle{ a_1,\;\ldots,\;a_n }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math] ([math]\displaystyle{ a_i\neq e }[/math]) можно так подобрать знаки [math]\displaystyle{ \varepsilon_1,\;\ldots,\;\varepsilon_n }[/math] ([math]\displaystyle{ \varepsilon_i=1 }[/math] или [math]\displaystyle{ \varepsilon_i=-1 }[/math]), что
- [math]\displaystyle{ P\cap S(a_1^{\varepsilon_1},\;\ldots,\;a_n^{\varepsilon_n})=\varnothing. }[/math]
Здесь
- [math]\displaystyle{ S(a_1,\;\ldots,\;a_n) }[/math] — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами [math]\displaystyle{ a_1,\;\ldots,\;a_n }[/math],
- [math]\displaystyle{ P=\{x\in G\mid0\leqslant x\} }[/math] — положительный конус отношения [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math].
Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.
Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из [math]\displaystyle{ a\notin P }[/math] следует, что для каждого конечного множества элементов [math]\displaystyle{ a_1,\;\ldots,\;a_n }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math] ([math]\displaystyle{ a_i\neq e }[/math]) существуют такие подходящие знаки [math]\displaystyle{ \varepsilon_1,\;\ldots,\;\varepsilon_n }[/math] ([math]\displaystyle{ \varepsilon_i=1 }[/math] или [math]\displaystyle{ \varepsilon_i=-1 }[/math]), что
- [math]\displaystyle{ P\cap S(a,\;a_1^{\varepsilon_1},\;\ldots,\;a_n^{\varepsilon_n})=\varnothing. }[/math]
Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] изолирован, то есть из [math]\displaystyle{ a^n\geqslant e }[/math] для некоторого натурального числа [math]\displaystyle{ n }[/math] следует [math]\displaystyle{ a\geqslant e }[/math].
Случай векторных пространств
Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.
Ссылки
- Шпильрайн, Е. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel, Fundamenta Mathematicae Т. 16: 386–389, ISSN 0016-2736, <http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=1&tom=16> Архивная копия от 6 февраля 2012 на Wayback Machine.
- Dushnik, Ben & Miller, E. W. (1941), Частично упорядоченные множества, American Journal of Mathematics Т. 63 (3): 600-610, MR: 0004862, ISSN 0002-9327, doi:10.2307/2371374, <https://www.jstor.org/stable/2371374>.
- Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 342 с.