Теорема Холево

Теорема Холево — важная ограничивающая теорема в области квантовых вычислений, междисциплинарной области физики и информатики. Её иногда называют границей Холево, поскольку теорема устанавливает верхнюю границу на количество информации, которую можно узнать о квантовом состоянии (доступная информация). Теорему опубликовал Александр Семёнович Холево в 1973 году.

Вводная информация

Как и для других концепций квантовой теории информации, понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб. У Алисы есть классическая случайная величина X, которая может принимать значения {1, 2, …, n} с соответствующими вероятностями [math]\displaystyle{ \{p_1, p_2, \dots, p_n\} }[/math]. Алиса подготавливает квантовое состояние, представленное матрицей плотности [math]\displaystyle{ \rho_X }[/math], выбранной из множества [math]\displaystyle{ \{\rho_1, \rho_2, \dots \rho_n\} }[/math], и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X, которое осуществляется через измерение состояния [math]\displaystyle{ \rho_X }[/math], что даёт классический результат, обозначаемый через Y. В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X, является максимальным значением взаимной информации I(X:Y) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать^[1].

В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой^[1].

Утверждение теоремы

Пусть [math]\displaystyle{ \{\rho_1, \rho_2, \dots, \rho_n\} }[/math] будет множеством смешанных состояний и пусть [math]\displaystyle{ \rho_X }[/math] будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности [math]\displaystyle{ P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\} }[/math].

Теперь для любого измерения, описываемого элементами POVM (англ. positive operator-valued measure, положительная операторная мера) [math]\displaystyle{ \{E_Y\} }[/math] и осуществлённого на [math]\displaystyle{ \rho= \sum_X p_X \rho_X }[/math], количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:

[math]\displaystyle{ I(X:Y) \leqslant S(\rho) - \sum_i p_i S(\rho_i) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho = \sum_i p_i \rho_i }[/math] ; [math]\displaystyle{ S(\cdot) }[/math] является энтропией фон Неймана^[en].

Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево:

[math]\displaystyle{ \chi := S(\rho) - \sum_i p_i S(\rho_i) }[/math].

Доказательство

Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами [math]\displaystyle{ P, Q, M }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ P }[/math] рассматривается как подготовка, [math]\displaystyle{ Q }[/math] — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а [math]\displaystyle{ M }[/math] — как средства измерения полученной информации Боба.

Сложная система [math]\displaystyle{ P \otimes Q \otimes M }[/math] в начале находится в состоянии

[math]\displaystyle{ \rho^{PQM} := \sum_x p_x |x\rangle \langle x| \otimes \rho_x \otimes |0\rangle \langle0| }[/math]

Состояние Алисы [math]\displaystyle{ P }[/math] можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение [math]\displaystyle{ x }[/math] для случайной переменной [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием, описываемым матрицей плотности [math]\displaystyle{ \sum_x p_x |x\rangle \langle x| }[/math], квантовое состояние, переданное Бобу, равно [math]\displaystyle{ \sum_x p_x \rho_x }[/math], а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math].

Используя известные результаты квантовой теории информации^{[какие?]} можно показать^[как?], что

[math]\displaystyle{ S(P';M') \leqslant S(P;Q) }[/math]

Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать^[как?], что это эквивалентно утверждению теоремы^[1].

Замечания

По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит, хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь, то есть получить на практике, не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит. Это удивительно по двум причинам^{[источник не указан 1170 дней]}:

квантовые вычисления часто настолько более мощные по сравнению с обычными вычислениями, что результаты, показывающие, что они лишь незначительно лучше, или даже хуже обычных техник, выглядят странно;
требуется [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] комплексных чисел для кодирования кубита, который представляет лишь n бит.

См. также

Квантовое сверхплотное кодирование

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Nielsen, Chuang, 2000.

Литература

Холево А.С. Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи // Проблемы передачи информации. — 1973. — Т. 9. — С. 177—183.
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. секция 12.1.1 - уравнение (12.6) // Quantum Computation and Quantum Information (англ.). — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000. — P. 531. — ISBN 978-0-521-63235-5.
Mark M. Wilde (2011), From Classical to Quantum Shannon Theory, arΧiv:1106.1445v2 [quant-ph]. См. секцию 11.6. Теорема Холево представлена как упражнение 11.9.1 на странице 288.

[_972f23812fc236cd-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Nielsen, Chuang, 2000.

[1]