Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках
Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.
Формулировки
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
- Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках
Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:
- [math]\displaystyle{ \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}. }[/math]
Замечания
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые [math]\displaystyle{ AA_1||BB_1||CC_1||DD_1 }[/math] и при этом [math]\displaystyle{ AB=CD }[/math].
- Проведём через точки [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] прямые, параллельные другой стороне угла. [math]\displaystyle{ AB_2B_1A_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ CD_2D_1C_1 }[/math]. Согласно свойству параллелограмма: [math]\displaystyle{ AB_2=A_1B_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ CD_2=C_1D_1 }[/math].
- Треугольники [math]\displaystyle{ \bigtriangleup ABB_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \bigtriangleup CDD_2 }[/math] равны на основании второго признака равенства треугольников
Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
История
Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Началах» Евклида (предложение 2 книги VI).
Вариации и обобщения
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны. |
Таким образом (см. рис.) из того, что [math]\displaystyle{ \frac{CB_1}{CA_1}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\ldots }[/math], следует, что [math]\displaystyle{ A_1B_1||A_2B_2||\ldots }[/math].
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.
Лемма Соллертинского
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:
Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — проективное соответствие между точками прямой [math]\displaystyle{ l }[/math] и прямой [math]\displaystyle{ m }[/math]. Тогда множество прямых [math]\displaystyle{ Xf(X) }[/math] будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). |
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:
Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых [math]\displaystyle{ Xf(X) }[/math] будет коника (возможно, вырожденная). |
В культуре
- Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме[1];
- Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.
См. также
Примечания
Литература
- Геометрия по Киселёву, § 188.
- Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7—9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.