Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности
Теорема об угле, опирающемся на диаметр окружности — классическая теорема планиметрии, частный случай теоремы о вписанном угле.
Формулировка
Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.
Использование
Используя свойство угла, опирающегося на диаметр, можно построить касательную к окружности. Пусть дана окружность [math]\displaystyle{ k }[/math] и точка [math]\displaystyle{ P }[/math] вне этой окружности. Построим касательные из точки [math]\displaystyle{ P }[/math] к окружности [math]\displaystyle{ k }[/math]. Соединим центр [math]\displaystyle{ O }[/math] окружности [math]\displaystyle{ k }[/math] с точкой [math]\displaystyle{ P }[/math] и на отрезке [math]\displaystyle{ OP }[/math], как на диаметре, построим окружность. Две окружности пересекаются по двум точкам — обозначим их [math]\displaystyle{ T }[/math] и [math]\displaystyle{ T' }[/math]. [math]\displaystyle{ \angle OTP }[/math] будет прямой, так как вписанный и опирается на диаметр. [math]\displaystyle{ OT }[/math] — радиус окружности [math]\displaystyle{ k }[/math], перпендикулярный прямой [math]\displaystyle{ PT }[/math], пересекающей окружность [math]\displaystyle{ k }[/math] в точке [math]\displaystyle{ T }[/math]; следовательно, [math]\displaystyle{ PT }[/math] — касательная. Аналогичные рассуждения можно провести о точке [math]\displaystyle{ T' }[/math].
Частный случай
- Окружность Фурмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром и точкой Нагеля.
В литературе
|
o se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì ch'un retto non avesse. |
Или можно ли в полукруге построить треугольник,
который не имел бы прямого угла. |
| |
«Божественная комедия» Данте Алигьери, «Рай», Песнь XIII, строки 101—102. Перевод Владимира Викторовича Чуйко.
| ||||