Лемма Соллертинского
Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.
|
Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] — произвольная точка и [math]\displaystyle{ f }[/math] — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ f(l) }[/math], где [math]\displaystyle{ l }[/math] — прямая, проходящая через [math]\displaystyle{ P }[/math], есть коника, проходящая через точки [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ f(P). }[/math] |
Доказательство
Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] — прямые, проходящие через точку [math]\displaystyle{ P }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] — точки пересечения [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ f(a) }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ f(b) }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] и [math]\displaystyle{ f(c) }[/math]. Пять точек [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ P }[/math], [math]\displaystyle{ f(P) }[/math] определяют конику, притом единственную. Пусть вторая точка пересечения прямой [math]\displaystyle{ d }[/math], проходящей через [math]\displaystyle{ P }[/math], с этой коникой, [math]\displaystyle{ D' }[/math], а точка пересечения прямой [math]\displaystyle{ f(d) }[/math] с этой коникой, [math]\displaystyle{ D'' }[/math]. Тогда равны следующие двойные отношения: [math]\displaystyle{ (A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C,D'') }[/math]. Значит, [math]\displaystyle{ D'=D'' }[/math], то есть прямые [math]\displaystyle{ d }[/math] и [math]\displaystyle{ f(d) }[/math] переекаются на той же конике. В силу произвольности выбора прямой [math]\displaystyle{ d }[/math] на ней лежат все такие точки пересечения, что и требовалось.
История
Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году.[1] На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.
Частные случаи и следствия
- Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
- Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
- Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так:
|
Пусть [math]\displaystyle{ l }[/math] — произвольная прямая и [math]\displaystyle{ f }[/math] — проективное преобразование. Тогда все прямые [math]\displaystyle{ Pf(P) }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — точка, лежащая на [math]\displaystyle{ l }[/math], касаются коники, касающейся прямых [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ f(l). }[/math] |
- Пусть на сторонах произвольного треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники [math]\displaystyle{ ABC' }[/math], [math]\displaystyle{ ACB' }[/math], [math]\displaystyle{ BCA' }[/math]. Тогда прямые [math]\displaystyle{ AA' }[/math], [math]\displaystyle{ BB' }[/math], [math]\displaystyle{ CC' }[/math] пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
- Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
- Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
- Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.