Двойное отношение
Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] (вещественных или комплексных) определяется как
- [math]\displaystyle{ (ab,cd)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}. }[/math]
Также встречаются обозначения [math]\displaystyle{ (a, b; c, d) }[/math] и [math]\displaystyle{ [a, b; c, d] }[/math].
Свойства
- [math]\displaystyle{ (ab,cd)(ab,de)=(ab,ce) }[/math]
- Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.
- [math]\displaystyle{ (ab,cd)=\frac{1}{(ba,cd)}=\frac{1}{(ab,dc)}=1-(ac,bd) }[/math]
- В частности если двойное отношение четвёрки чисел равно [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:
- [math]\displaystyle{ \lambda, \frac{1} {\lambda}, 1-\lambda, \frac 1 {1-\lambda}, \frac{\lambda-1} {\lambda}, \frac {\lambda} {\lambda-1} }[/math]
Вариации и обобщения
Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ D }[/math], лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число
- [math]\displaystyle{ (AB,CD)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}, }[/math]
где через [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] обозначены координаты точек [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ D }[/math] соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:
- [math]\displaystyle{ (AB,CD)=\frac{AC}{BC}: \frac{AD}{BD}, }[/math]
подразумевая, что через [math]\displaystyle{ AC/BC }[/math] (соответственно [math]\displaystyle{ AD/BD }[/math]) обозначено отношение направленных отрезков.
- Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.
Двойным отношением четвёрки прямых [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math], проходящих через одну точку, называют число
- [math]\displaystyle{ (ab,cd)=\pm\frac{\sin(a,c)}{\sin(b,c)}: \frac{\sin(a, d)}{\sin(b,d)}, }[/math]
знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math], не пересекается ни с одной из прямых [math]\displaystyle{ c }[/math] или [math]\displaystyle{ d }[/math] (в этом случае говорят, что пара прямых [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] не разделяет пару прямых [math]\displaystyle{ c }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math]), то [math]\displaystyle{ (ab,cd)\gt 0 }[/math]; в противном случае [math]\displaystyle{ (ab,cd)\lt 0 }[/math].
- Пусть четвёрка прямых [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] проходит через точку [math]\displaystyle{ O }[/math], а прямая [math]\displaystyle{ \ell }[/math] не содержит [math]\displaystyle{ O }[/math]. Предположим прямые [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ d }[/math] пересекаются с [math]\displaystyle{ \ell }[/math] соответственно в точках [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math]. Тогда
- [math]\displaystyle{ (ab,cd)=(AB,CD). }[/math]
См. также
Ссылки
- Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
- Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.