Отношение направленных отрезков

Отноше́ние напра́вленных отре́зков — инвариант аффинной геометрии. Используется в формулировках теоремы Менелая, теоремы Чевы, теоремы Ван-Обеля и других.

Определение

Отношение направленных отрезков определено для двух отрезков [math]\displaystyle{ XY }[/math] и [math]\displaystyle{ ZT }[/math] на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается [math]\displaystyle{ \frac{XY}{ZT} }[/math]. С точностью до знака оно равно отношению длин [math]\displaystyle{ \frac{|XY|}{|ZT|} }[/math], и величина [math]\displaystyle{ \frac{XY}{ZT} }[/math] положительна, если [math]\displaystyle{ \overrightarrow{XY} }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{ZT} }[/math] сонаправлены, и отрицательна, если противонаправлены. Другими словами, величина [math]\displaystyle{ \frac{XY}{ZT} }[/math] определяется как число, удовлетворяющее следующему соотношению:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{XY}=\frac{XY}{ZT}\cdot\overrightarrow{ZT}. }[/math]

Связанные определения

Если три точки [math]\displaystyle{ X,Y,Z }[/math] лежат на одной прямой, то отношение направленных отрезков [math]\displaystyle{ \frac{XY}{YZ} }[/math] называется также простым отношением точек [math]\displaystyle{ X,Y,Z }[/math]; оно положительно если [math]\displaystyle{ Y }[/math] лежит между [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] и отрицательно если [math]\displaystyle{ Y }[/math] лежит вне отрезка [math]\displaystyle{ XZ }[/math].

Свойства

• Отношение направленных отрезков является инвариантом аффинных преобразований.

См. также

• Двойное отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).