Теорема Майерса
Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.
Формулировка
Если кривизна Риччи полного [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного риманова многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] ограничена снизу положительной величиной [math]\displaystyle{ (n-1)k }[/math] при некотором [math]\displaystyle{ k }[/math], то его диаметр не превосходит [math]\displaystyle{ \pi/\sqrt{k} }[/math]. Более того, если диаметр равен [math]\displaystyle{ \pi/\sqrt{k} }[/math], то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны [math]\displaystyle{ k }[/math].
Следствия
Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math]. В частности, универсальное накрытие [math]\displaystyle{ M }[/math] конеченолистно и значит фундаментальная группа [math]\displaystyle{ \pi_1M }[/math] конечна.
История
Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.[1]
Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны,[2] (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).
Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.[4]
См. также
Примечания
- ↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (German) Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209–225.
- ↑ Bonnet, Ossian. "Sur quelques propriétés des lignes géodésiques." CR Acad. Sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
- ↑ Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Mathematical Journal Т. 8 (2): 401–404, DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3
- ↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications, Mathematische Zeitschrift Т. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01214381