Перейти к содержанию

Теорема Каулинга

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле[1].

Формулировка теоремы

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Плоский случай

Дипольное поле

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

[math]\displaystyle{ B=\frac{1}{r^3} }[/math]

Пусть поле линейно растет с увеличением R

[math]\displaystyle{ (\mathrm{rot}\vec B)_{\varphi}=\frac{ \partial B_{r}}{ \partial z} - \frac{ \partial B_{z}}{ \partial r}\neq 0,\ \vec j_{\varphi}\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =2\pi R \vec j_{\varphi}\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =\sigma\oint\limits_O \left[\vec E+\frac{\vec v \times \vec B}{c}\right] \,\vec{dl} }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ \left[\vec v \times \vec B\right]\neq 0 }[/math], тогда [math]\displaystyle{ v_zB_\varphi-v_\varphi B_z\neq 0 }[/math], но на линии O и [math]\displaystyle{ v_\varphi }[/math], и [math]\displaystyle{ B_z }[/math] равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть [math]\displaystyle{ \left[\vec v \times \vec B\right]= 0 }[/math]. Тогда имеем

[math]\displaystyle{ \oint\limits_O \vec j_{\varphi} \,\vec{dl} =\sigma\oint\limits_O \vec E\,\vec{dl} = \sigma\int\mathrm{rot}\vec E\,\vec{ds}=-\frac\sigma c \int\frac{\partial\vec B}{\partial t}\,\vec{ds}=-\frac\sigma c \frac{d\Phi}{dt} }[/math]

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

[math]\displaystyle{ \Phi = \int\limits_0^R 2\pi rB_z\,dr }[/math]

Таким образом, имеем неравенство

[math]\displaystyle{ \frac{d\Phi}{dt}\neq 0 }[/math]

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное поле

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

[math]\displaystyle{ B_\varphi\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac d{dt}\left(\frac{B_\varphi}{r\rho}\right)=\frac{c^2}{4\pi\sigma\rho r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac 1 r \frac{\partial}{\partial r}\left(rB_\varphi\right)\right]+\frac{\partial^2B_\varphi}{\partial z^2}\right\} }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \frac{c^2}{4\pi\sigma\rho r} }[/math] — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамо

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

См. также

Примечания

  1. Cowling T. G. The Magnetic Field of Sunspots (англ.) // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society : journal. — Oxford University Press, 1933. — Vol. 94. — P. 39—48. — doi:10.1093/mnras/94.1.39. — Bibcode1933MNRAS..94...39C.