Формула Гаусса — Бонне
Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей [math]\displaystyle{ \partial \Omega }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ K }[/math] гауссову кривизну [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] и через [math]\displaystyle{ k_g }[/math] геодезическую кривизну [math]\displaystyle{ \partial \Omega }[/math]. Тогда
- [math]\displaystyle{ \int\limits_\Omega K\,d\sigma + \int\limits_{\partial\Omega}k_g\,ds = 2\pi\chi(\Omega), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \chi(\Omega) }[/math] — эйлерова характеристика [math]\displaystyle{ \Omega }[/math].
В частности, если у [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] нет границы, получаем
- [math]\displaystyle{ \int\limits_\Omega K\,d\sigma = 2\pi\chi(\Omega). }[/math]
Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.
История
Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом[1], Пьер Оссиан Бонне[2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces". Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке[4].
Вариации и обобщения
- Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома [math]\displaystyle{ P_i }[/math] касательный вектор [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\tau} }[/math] разворачивается на угол [math]\displaystyle{ \phi_i }[/math] в сторону области [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_{\Omega} K \,d\sigma + \int\limits_L k_g \,ds + \sum_i \phi_i = 2 \pi \chi(\Omega). }[/math]
- Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
- Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
- Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
См. также
Ссылки
- ↑ C. F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
- ↑ Bonnet, 1848 'Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces', J. École Polytechnique 19 (1848) pp. 1—146
- ↑ von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Math Ann, 32: 457–512 (1888)
- ↑ Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921
- С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116—121.
- Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem." Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777-784.