Тензор Коттона

В дифференциальной геометрии тензор Коттона на (псевдо)-римановом многообразии размерности n задаётся как тензор 3-го ранга, определяемый с помощью метрики.

Назван в честь Эмиля Коттона.

Определение

Тензор Коттона можно записать в координатах следующим образом

[math]\displaystyle{ C_{ijk} = \nabla_{k} R_{ij} - \nabla_{j} R_{ik} + \tfrac{1}{2(n-1)}\cdot\left( \nabla_{j}Rg_{ik} - \nabla_{k}Rg_{ij}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_{ij} }[/math] — тензор Риччи и [math]\displaystyle{ R }[/math] — скалярная кривизна

Про Тензор Коттона можно думать как про векторно-значную 2-форму.

Свойства

• Равенство нулю тензора Коттона для размерности [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] является необходимым и достаточным условием того, что многообразие является конформно евклидовым.
  • В размерностях [math]\displaystyle{ n\ge4 }[/math] аналогичным свойством обладает тензору Вейля.

Литература

• Cotton, É. Sur les variétés à trois dimensions // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. — 1899. Архивировано 10 октября 2007 года.
• A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias. The Cotton tensor in Riemannian spacetimes // Classical and Quantum Gravity. — 2004. — № 21. — С. 1099—1118. — arXiv:gr-qc/0309008.