Суперсимметричная квантовая механика

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

В теоретической физике, суперсимметричная квантовая механика — это область исследований, где математические понятия из области физики высоких энергий применяются в области квантовой механики. Суперсимметрия, под которой понимают преобразование из бозонных операторов в фермионные и обратно, объединяет непрерывные преобразования (бозонные) и дискретные (фермионные). В современной теории бозоны связывают с переносчиками взаимодействия, а фермионы с материей, но суперсимметрия смогла объединить эти два понятия. Суперсимметрия оказалась также полезной для борьбы с расходимостями в квантовой теории поля, что обусловило интерес к этой теории[1].

Введение

Доказать последствия суперсимметрии математически сложно, и также трудно разработать теорию, которая могла бы демонстрировать нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых партнеров частиц равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику, то есть теорию применения суперсимметричной супералгебры в квантовой механике в отличие от квантовой теории поля. Следует надеяться, что изучение последствий суперсимметрии в этой простой постановке, приведет к новому пониманию; примечательно, что сопутствующие достижения привели к созданию новых направлений исследований в самой квантовой механике.

Например, студентов обычно учат, «решать» водородный атом в виде трудоёмкого процесса, который начинается путем включения кулоновского потенциала в уравнение Шредингера. После значительного объёма работы с использованием многих дифференциальных уравнений, анализом получают рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра. Окончательным результатом является спектр: энергетические состояния атома водорода (обозначеные квантовыми числами n и l). С помощью идей, почерпнутых из суперсимметрии, конечный результат можно получить при значительно меньших затратах, во многом таким же образом, как при операторном методе для решения гармонического осциллятора.[2] Подобный суперсимметричный подход можно использовать, чтобы точнее найти спектра водорода, используя уравнения Дирака.[3] Как ни странно, этот подход аналогичен способу, который использовал Эрвин Шредингер впервые решая атом водорода.[4][5] Конечно, он не называл своё решение суперсимметричным так как сама теория суперсимметрии появилась на тридцать лет позже.

Суперсимметричное решение атома водорода только один пример очень общего класса решений: потенциалов инвариантной формы англ. shape-invariant potentials. Эта категория включает большинство потенциалов преподаваемых в вводных курсах квантовой механики.

Суперсимметричная квантовая механика включает в себя пары гамильтонианов, между которыми имеются конкретные математические соотношения. Их называют гамильтонианы-партнеры англ. partner Hamiltonians. Тогда соответствующие потенциалы в гамильтонианах называют потенциалы-партнер англ. partner potentials). Основная теорема показывает, что для всех собственных состояний одного гамильтониана, его гамильтониан-партнер имеет соответствующие собственные состояния с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний нулевой энергии. Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналог оригинального описания суперсимметрии, которая касается бозонов и фермионов. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», чьи состояния являются различными бозонами нашей теории. Суперсимметричный партнёр этого гамильтониана будет «Фермионным», и его собственные состояния будут описывать фермионы. Каждому бозону соответствует фермионной партнер равной энергии — но, в релятивистском мире, энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем просто сказать, что частицы партнеры имеют равные массы.

Концепция суперсимметрии предоставляет полезные расширения в ВКБ приближении, в виде модифицированной версией условия квантования Бора — Зоммерфельда. Кроме того, суперсимметрию применяют в не квантовой статистической механике с помощью уравнения Фоккера — Планка. Этот пример показывает, что, даже если исходная идея в физике элементарных частиц заведёт в тупик, её исследование в других областях расширило наше понимание.

Пример: гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид

[math]\displaystyle{ H^{HO} \psi_{n}(x) = \bigg(\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{m \omega^{2}}{2}x^{2}\bigg) \psi_{n}(x) = E_{n}^{HO} \psi_{n}(x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \psi_{n}(x) }[/math] это [math]\displaystyle{ n }[/math]й уровень [math]\displaystyle{ H^{HO} }[/math] с энергией [math]\displaystyle{ E_{n}^{HO} }[/math]. Мы хотим найти выражение для [math]\displaystyle{ E_{n}^{HO} }[/math] как функцию [math]\displaystyle{ n }[/math]. Определим операторы

[math]\displaystyle{ A = \frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ A^{\dagger} = -\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ W(x) }[/math], которой мы должны выбрать сами, называется суперпотенциалом [math]\displaystyle{ H^{HO} }[/math]. Определим гамильтонианы-партнеры [math]\displaystyle{ H^{(1)} }[/math] и [math]\displaystyle{ H^{(2)} }[/math] как

[math]\displaystyle{ H^{(1)} = A^{\dagger} A = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} - \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ H^{(2)} = A A^{\dagger} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x). }[/math]

Основное состояние с нулевой энергией [math]\displaystyle{ \psi_{0}^{(1)}(x) }[/math] из [math]\displaystyle{ H^{(1)} }[/math] будет удовлетворять уравнению

[math]\displaystyle{ H^{(1)} \psi_{0}^{(1)}(x) = A^{\dagger} A \psi_{0}^{(1)}(x) = A^{\dagger} \bigg(\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+ W(x)\bigg) \psi_{0}^{(1)}(x) = 0. }[/math]

Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора [math]\displaystyle{ \psi_{0}(x) }[/math] найдём [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] как

[math]\displaystyle{ W(x) = \frac{-\hbar}{\sqrt{2m}} \bigg(\frac{\psi_{0}^{\prime}(x)}{\psi_{0}(x)}\bigg) = x \sqrt{m \omega^{2}/2} }[/math]

Затем мы находим, что

[math]\displaystyle{ H^{(1)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} - \frac{\hbar \omega}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ H^{(2)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} + \frac{\hbar \omega}{2}. }[/math]

Теперь мы можем увидеть, что

[math]\displaystyle{ H^{(1)} = H^{(2)} - \hbar \omega = H^{HO} - \frac{\hbar \omega}{2}. }[/math]

Это частный случай инвариантности формы, которая обсуждается ниже. Принимая без доказательств основную теорему, очевидно, что спектр [math]\displaystyle{ H^{(1)} }[/math] начинается с [math]\displaystyle{ E_{0} = 0 }[/math] и дальше увеличивается шагами [math]\displaystyle{ \hbar \omega. }[/math] Спектры [math]\displaystyle{ H^{(2)} }[/math] и [math]\displaystyle{ H^{HO} }[/math] будут иметь такие же равные интервалы, но будут сдвинуты на величины [math]\displaystyle{ \hbar \omega }[/math] и [math]\displaystyle{ \hbar \omega / 2 }[/math], соответственно. Отсюда следует, что спектр [math]\displaystyle{ H^{HO} }[/math] принимает знакомый вид [math]\displaystyle{ E_{n}^{HO} = \hbar \omega (n + 1/2) }[/math].

Супералгебра суперсимметричной квантовой механики

В обычной квантовой механике, мы узнаем, что алгебра операторов определяется коммутационными соотношения между этими операторами. Например, канонические операторы координаты и импульса имеют коммутатор [math]\displaystyle{ [x,p]=i }[/math]. (Здесь, мы используем «естественные единицы», где постоянная Планка устанавливается равной 1.) Более сложный случай алгебры операторов углового момента; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией в трехмерном пространстве. Обобщая это понятие, мы определяем антикоммутатор, который задаёт отношения операторов, точно так же как и обычный коммутатор, но с противоположным знаком:

[math]\displaystyle{ \{A,B\} = AB + BA. }[/math]

Если операторы связаны как антикоммутаторами, так и коммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли. Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math] и набор [math]\displaystyle{ N }[/math] операторов [math]\displaystyle{ Q_i }[/math]. Мы будем называть эту систему суперсимметричной, если следующие антикоммутационные соотношения справедливы для всех [math]\displaystyle{ i,j = 1,\ldots,N }[/math]:

Если это так, то мы называем [math]\displaystyle{ Q_i }[/math] суперзарядами системы.

Пример

Рассмотрим пример одномерной нерелятивистской частицы с 2-мя(то есть два состояния) внутренними степенями свободы и назовём их «спин» (это не совсем спин, потому что реальный спин является свойством 3D-частицы). Пусть [math]\displaystyle{ b }[/math] оператор, который преобразует «спин-вверх» частицы на «спин-вниз». Его сопряжённый оператор [math]\displaystyle{ b^\dagger }[/math] преобразует спин-вниз частицу в спин-вверх состояние. Операторы нормированы таким образом что антикоммутатор [math]\displaystyle{ \{b,b^\dagger\}=1 }[/math]. И конечно, [math]\displaystyle{ b^2=0 }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ p }[/math] импульс частицы и [math]\displaystyle{ x }[/math] её координата с [math]\displaystyle{ [x,p]=i }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ W }[/math] (суперпотенциал) — произвольная комплексная аналитическая функция [math]\displaystyle{ x }[/math] которая определяет суперсимметричные операторы

[math]\displaystyle{ Q_1=\frac{1}{2}\left[(p-iW)b+(p+iW^\dagger)b^\dagger\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ Q_2=\frac{i}{2}\left[(p-iW)b-(p+iW^\dagger)b^\dagger\right] }[/math]

Обратите внимание, что [math]\displaystyle{ Q_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ Q_2 }[/math] являются самосопряженными. Пусть гамильтониан

[math]\displaystyle{ H=\{Q_1,Q_1\}=\{Q_2,Q_2\}=\frac{(p+\Im\{W\})^2}{2}+\frac{{\Re\{W\}}^2}{2}+\frac{\Re\{W\}'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b) }[/math]

где W' — это производная W. Также обратите внимание, что {Q1,Q2}=0. Это ничто иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, что [math]\displaystyle{ \Im\{W\} }[/math] действует как электромагнитный векторный потенциал.

Давайте также называть состояние «спин-вниз» «бозонным», а состояние «спин-вверх» «фермионным». Это только аналогия с квантовой теорией поля и не должно пониматься буквально. Тогда, Q1 и Q2 отображают «бозонные» состояния в «фермионные» и наоборот.

Давайте немного переформулируем:

определим

[math]\displaystyle{ Q=(p-iW)b }[/math]

и конечно,

[math]\displaystyle{ Q^\dagger=(p+iW^\dagger)b^\dagger }[/math]
[math]\displaystyle{ \{Q,Q\}=\{Q^\dagger,Q^\dagger\}=0 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \{Q^\dagger,Q\}=2H }[/math].

Оператор является «бозонным», если он переводит «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионые» состояния в «фермионые» состояния. Оператор «фермионный», если переводит «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор может быть выражен единственным образом как сумма бозонного и фермионного операторов. Определим суперкоммутатор [,} следующим образом: между двумя бозонными операторами или бозонным и фермионным операторами, это ничто иное как коммутатор, но между двумя фермионными операторами, это антикоммутатор.

Тогда, x и p-бозонные операторы и b, [math]\displaystyle{ b^\dagger }[/math], Q и [math]\displaystyle{ Q^\dagger }[/math] это фермионные операторы.

В Гейзенберговской нотации, x, b и [math]\displaystyle{ b^\dagger }[/math] являются функциями времени

и

[math]\displaystyle{ [Q,x\}=-ib }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q,b\}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q,b^\dagger\}=\frac{dx}{dt}-i\Re\{W\} }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,x\}=ib^\dagger }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,b\}=\frac{dx}{dt}+i\Re\{W\} }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,b^\dagger\}=0 }[/math]

Эти выражения в общем случае нелинейны: то есть x(t), b(t) и [math]\displaystyle{ b^\dagger(t) }[/math] не образуют линейное суперсимметричное представление, потому что [math]\displaystyle{ \Re\{W\} }[/math] не обязательно линейны по x. Чтобы избежать этой проблемы, определим самосопряженный оператор [math]\displaystyle{ F=\Re\{W\} }[/math]. Тогда,

[math]\displaystyle{ [Q,x\}=-ib }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q,b\}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q,b^\dagger\}=\frac{dx}{dt}-iF }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q,F\}=-\frac{db}{dt} }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,x\}=ib^\dagger }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,b\}=\frac{dx}{dt}+iF }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,b^\dagger\}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,F\}=\frac{db^\dagger}{dt} }[/math]

мы имеем линейное представление суперсимметрии.

Теперь введем две «формальных» величины: [math]\displaystyle{ \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \bar{\theta} }[/math], где последняя, это сопряжённая первой такая, что

[math]\displaystyle{ \{\theta,\theta\}=\{\bar{\theta},\bar{\theta}\}=\{\bar{\theta},\theta\}=0 }[/math]

и обе они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.

Далее, мы определяем понятие суперполе:

[math]\displaystyle{ f(t,\bar{\theta},\theta)=x(t)-i\theta b(t)-i\bar{\theta}b^\dagger(t)+\bar{\theta}\theta F(t) }[/math]

f является самосопряженным оператором. Затем,

[math]\displaystyle{ [Q,f\}=\frac{\partial}{\partial\theta}f-i\bar{\theta}\frac{\partial}{\partial t}f, }[/math]
[math]\displaystyle{ [Q^\dagger,f\}=\frac{\partial}{\partial \bar{\theta}}f-i\theta \frac{\partial}{\partial t}f. }[/math]

Кстати, там же имеется U(1)R симметрия, где p, x, W обладают нулевым R-зарядом, а у [math]\displaystyle{ b^\dagger }[/math] R-заряд равен 1 и R-заряд b равен −1.

Инвариантная форма

Предположим [math]\displaystyle{ W }[/math] реально для всех реальных [math]\displaystyle{ x }[/math]. Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана в

[math]\displaystyle{ H = \frac{(p)^2}{2}+\frac{{W}^2}{2}+\frac{W'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b) }[/math]

Существуют определённые классы суперпотенциалов такие, что бозонные и фермионные гамильтонианы имеют схожие формы. Конкретно

[math]\displaystyle{ V_{+} (x, a_1 ) = V_{-} (x, a_2) + R(a_1) }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math]параметры. Например, потенциал атома водорода, с моментом импульса [math]\displaystyle{ l }[/math] можно написать

[math]\displaystyle{ \frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2} - E_0 }[/math]

Это соответствует суперпотенциалу [math]\displaystyle{ V_{-} }[/math]

[math]\displaystyle{ W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{e^2}{2 4\pi \epsilon_0 (l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_+ = \frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{e^4 m}{32 \pi^2 h^2 \epsilon_0^2 (l+1)^2} }[/math]

Это и есть потенциал для момент импульса [math]\displaystyle{ l+1 }[/math] сдвинутого на константу. После решения для [math]\displaystyle{ l=0 }[/math] основного состояние, суперсимметричные операторы можно использовать для построения остального связанных состояний спектра.

В общем, поскольку [math]\displaystyle{ V_- }[/math] и [math]\displaystyle{ V_+ }[/math] являются потенциалами партнерами, они имеют тот же энергетический спектр, за исключением одной энергии основного состояния. Мы можем продолжать этот процесс нахождения потенциалов партнеров с условием инвариантности формы, посредством следующей формулы для уровней энергии в зависимости от параметров потенциала

[math]\displaystyle{ E_n=\sum\limits_{i=1}^n R(a_i) }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_i }[/math] параметры для нескольких потенциалов-партнёров.

Примечания

  1. ↑ Л. Э. Генденштейн, И. В. Криве. Суперсимметрия в квантовой механике // УФН. — 1985. — Т. 146. — С. 553—590.
  2. ↑ Valance, A.; Morgan, T. J. & Bergeron, H. (1990), Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry, American Journal of Physics (AAPT) . — Т. 58 (5): 487–491, doi:10.1119/1.16452, <http://link.aip.org/link/?AJP/58/487/1>  Архивировано 24 февраля 2013 года.
  3. ↑ Таллер, Б. (1992). Уравнения Дирака. Тексты и монографии по физике. Спрингер.
  4. ↑ Schrödinger, Erwin (1940), A Method of Determining Quantum-Mechanical Eigenvalues and Eigenfunctions, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . — Т. 46: 9–16 
  5. ↑ Schrödinger, Erwin (1941), Further Studies on Solving Eigenvalue Problems by Factorization, Proceedings of the Royal Irish Academy (Royal Irish Academy) . — Т. 46: 183–206 

Ссылки


Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Суперсимметричная_квантовая_механика&oldid=5842751