Структура Ходжа

Структура Ходжа веса [math]\displaystyle{ n }[/math], или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки [math]\displaystyle{ H_\Z }[/math] в действительном векторном пространстве [math]\displaystyle{ H_\R=H_\Z\otimes\R }[/math] и разложения [math]\displaystyle{ H_\Complex=\bigoplus_n H^{p,\;q} }[/math], где [math]\displaystyle{ n=p+q }[/math], комплексного векторного пространства [math]\displaystyle{ H_\Complex=H_\Z\otimes\Complex }[/math], которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие [math]\displaystyle{ \bar H^{p,\;q}=H^{q,\;p} }[/math], где [math]\displaystyle{ \bar H^{p,\;q} }[/math] — комплексное сопряжённое в [math]\displaystyle{ H_\Complex=H_\R\bigotimes_\R\Complex }[/math].

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, [math]\displaystyle{ F^r=\bigoplus_{p\geqslant r}H^{p,\;q} }[/math] в [math]\displaystyle{ H_\Complex }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \bar F^s\cap F^r=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ r+s\neq n }[/math]. Тогда подпространства [math]\displaystyle{ H^{p,\;q} }[/math] восстанавливаются по формуле [math]\displaystyle{ H^{p,\;q}=\bar F^p\cap F^q }[/math].

Данную структуру в пространстве [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных когомологий [math]\displaystyle{ H^n(X,\;\Complex) }[/math] компактного кэлерова многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math] впервые изучил У. Ходж.

В этом случае подпространства [math]\displaystyle{ H^{p,\;q} }[/math] описываются как пространства гармонических форм типа [math]\displaystyle{ (p,\;q) }[/math] или как когомологии [math]\displaystyle{ H^q(X,\;\Omega^p) }[/math] пучков [math]\displaystyle{ \Omega^p }[/math] голоморфных дифференциальных форм.

Фильтрация Ходжа в [math]\displaystyle{ H^n(X,\;\Complex) }[/math] возникает из фильтрации комплекса пучков [math]\displaystyle{ \Omega=\sum_{p\geqslant 0}\Omega^p }[/math], [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерные гиперкогомологии которого изоморфны [math]\displaystyle{ H^n(X,\;\Complex) }[/math], подкомплексами вида [math]\displaystyle{ \sum_{r\geqslant p}\Omega^r }[/math].

Смешанная структура Ходжа

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки [math]\displaystyle{ H_\Z }[/math] в [math]\displaystyle{ H_\R=H_\Z\otimes\R }[/math], возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, [math]\displaystyle{ W_n }[/math] в [math]\displaystyle{ H_\Q=H_\Z\otimes\Q }[/math] и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) [math]\displaystyle{ F^p }[/math] в [math]\displaystyle{ H_\Complex=H_\Z\otimes\Complex }[/math] таких, что на пространстве [math]\displaystyle{ (W_n/W_{n+1})\otimes\Complex }[/math] фильтрации [math]\displaystyle{ F^p }[/math] и [math]\displaystyle{ \bar F^p }[/math] определяют чистую структуру Ходжа веса [math]\displaystyle{ n }[/math].

П. Делинь (P. Deligne) в своей работе рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений.