Унивалентный функтор
Унивалентный функтор (строгий функтор) — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.
Соответственно, функтор [math]\displaystyle{ F \colon \mathcal C \longrightarrow \mathcal D }[/math] между локально малыми категориями [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math]:
- унивалентнен, если функция [math]\displaystyle{ F_{X,Y} }[/math] инъективна,
- полон, если [math]\displaystyle{ F_{X,Y} }[/math] сюръективна,
- вполне унивалентен, если [math]\displaystyle{ F_{X,Y} }[/math] биективна
для каждой пары [math]\displaystyle{ X, Y }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] ([math]\displaystyle{ F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y)) }[/math] — срез функтора на морфизмы [math]\displaystyle{ X \to Y }[/math]).
Унивалентный функтор не обязательно инъективен на объектах категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math], поэтому образ вполне унивалентного функтора не обязан быть категорией, изоморфной [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]. Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне унивалентный функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если [math]\displaystyle{ F \colon \mathcal C \longrightarrow \mathcal D }[/math] является вполне унивалентным и [math]\displaystyle{ F(x)\cong F(y) }[/math], то [math]\displaystyle{ x \cong y }[/math] (в этом случае говорят, что функтор [math]\displaystyle{ F }[/math] отражает изоморфизмы).
Любой унивалентный функтор отражает мономорфизмы и эпиморфизмы. Из этого следует, что любой унивалентный функтор из сбалансированной категории отражает изоморфизмы.
Пример унивалентного функтора — забывающий функтор для категории групп [math]\displaystyle{ U \colon \mathbf{Grp} \longrightarrow \mathbf{Set} }[/math]: гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. (Категория с унивалентным функтором в [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] называется конкретной категорией.) Функтор, вкладывающий категорию абелевых групп [math]\displaystyle{ \mathbf{Ab} }[/math] в категорию групп [math]\displaystyle{ \mathbf{Grp} }[/math], вполне унивалентный.
Литература
- Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.