Статистическая мощность

Статистическая мощность в математической статистике — вероятность отклонения основной (или нулевой) гипотезы при проверке статистических гипотез в случае, когда конкурирующая (или альтернативная) гипотеза верна. Чем выше мощность статистического теста, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Величина мощности также используется для вычисления размера выборки, необходимой для подтверждения гипотезы с необходимой силой эффекта.

Применение

Величина мощности при проверке статистической гипотезы зависит от следующих факторов:

величины уровня значимости, обозначаемого греческой буквой [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], на основании которого принимается решение об отвержении или принятии альтернативной гипотезы;
величины эффекта (то есть разности между сравниваемыми средними);
размера выборки, необходимой для подтверждения статистической гипотезы.

Основные параметры для определения мощности показаны на схеме.

Уровень значимости ([math]\displaystyle{ \alpha }[/math]) выбирается исследователем и определяет вероятность совершения ошибки первого рода. Вероятность того, что альтернативная гипотеза верна, но решение принимается в пользу нулевой гипотезы (ошибка второго рода), обозначается греческой буквой [math]\displaystyle{ \beta }[/math]. Тогда вероятность принятия правильного решения при истинной альтернативной гипотезе (мощность) равна [math]\displaystyle{ 1-\beta }[/math].

При известном стандартном отклонении генеральной совокупности и заданном уровне значимости [math]\displaystyle{ \alpha=0{,}05 }[/math] мощность [math]\displaystyle{ 1-\beta }[/math] можно вычислить с использованием Z-критерия по формуле

[math]\displaystyle{ {1-\beta} = P \left( Z \gt \frac{\mu{_0} + 1{,}64 (SE) - \mu_1}{SE} \right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu{_0} }[/math] есть среднее при нулевой гипотезе, [math]\displaystyle{ \mu{_1} }[/math] — среднее при альтернативной гипотезе, [math]\displaystyle{ 1{,}64 }[/math] — величина критического значения Z-статистики при одностороннем Z-тесте, и [math]\displaystyle{ SE }[/math] — стандартная ошибка.

Величина эффекта определяет вероятность совершения ошибки второго рода. Коэффициент величины эффекта называется мерой эффекта [math]\displaystyle{ d }[/math]. Был введён в употребление Дж. Коэном и вычисляется как отношения разности между сравниваемыми средними к стандартному отклонению [math]\displaystyle{ d = \frac{\mu{_0}-\mu{_1}}{\sigma} }[/math].

Размер выборки, необходимой для подтверждения статистической гипотезы, влияет на статистическую мощность, так как с увеличением выборки уменьшается стандартная ошибка, а следовательно, увеличивается мощность.

См. также

Литература

Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.
Hays, W. Statistics (5th ed.). Cengage Learning, 1994.