Симплициальная категория
Симплициальная категория (также симпле́кс-категория, ординальная категория)[1] — категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой — монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологии[2], является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество.
Симплициальная категория [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] (иногда используется обозначение [math]\displaystyle{ \mathbf{Ord} }[/math][3]) строится из объектов вида [math]\displaystyle{ [n] = \{0, 1, \dots, n \} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, и морфизмов [math]\displaystyle{ f: [n] \to [n'] }[/math] таких, что из [math]\displaystyle{ i \leqslant j }[/math] следует [math]\displaystyle{ f(i) \leqslant f(j) }[/math]. Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные порядковые числа, а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число [math]\displaystyle{ [0] }[/math] является начальным объектом категории, а [math]\displaystyle{ [1] }[/math] — терминальным.
Свойства
Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов[4] ([math]\displaystyle{ 0 \leqslant i \leqslant n }[/math]):
- [math]\displaystyle{ \delta_i^n: [n-1] \to [n] }[/math],
- [math]\displaystyle{ \sigma_i^n: [n+1] \to [n] }[/math],
определённых следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \delta_i^n(j) = \begin{cases}j, & j \lt i \\ j+1, & j \geqslant i \end{cases} }[/math] (возрастающее инъективное отображение, «пропускающее» [math]\displaystyle{ i }[/math]),
- [math]\displaystyle{ \sigma_i^n(j) = \begin{cases}j, & j \leqslant i \\ j-1, & j \gt i \end{cases} }[/math] (неубывающее сюръективное отображение, принимающее значение [math]\displaystyle{ i }[/math] дважды).
Более того, для всякого [math]\displaystyle{ f \in \mathrm{Hom}_\Delta([m], [n]) }[/math] единственно представление:
- [math]\displaystyle{ f = \delta_{i_s}^n \delta_{i_{s-1}}^{n-1} \dots \delta_{i_1}^{n-s+1} \sigma_{j_t}^{m-t} \dots \sigma_{j_2}^{m-2} \sigma_{j_1}^{m-1} }[/math],
где [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i_1 \lt \dots \lt i_s \leqslant n }[/math], [math]\displaystyle{ 0 \leqslant j_t \lt \dots \lt j_1 \lt m }[/math], [math]\displaystyle{ n = m - t +s }[/math].
Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям:
- [math]\displaystyle{ \delta_j^{n+1} \delta_i^n = \delta_i^{n+1} \delta_{j-1}^n }[/math], если [math]\displaystyle{ i \lt j }[/math],
- [math]\displaystyle{ \sigma_j^n \sigma_i^{n+1} = \sigma_i^n \sigma_{j+1}^{i+1} }[/math], если [math]\displaystyle{ i \leqslant j }[/math],
- [math]\displaystyle{ \sigma_j^{n-1} \delta_i^n = \begin{cases}\delta_i^{n-1} \sigma_{j-1}^{n-2}, & i \lt j \\ \mathsf{Id}_{[n-1]}, & i = j \, \vee \, i = j+1 \\ \delta_{i-1}^{n-1} \sigma_j^{n-2}, & i \gt j + 1 \end{cases} }[/math]
Данные соотношения однозначно определяют морфизмы [math]\displaystyle{ \delta }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma }[/math].
Связанные определения
Порядковое сложение — бифунктор [math]\displaystyle{ +: \Delta \times \Delta \to \Delta }[/math], определённый на порядковых числах как обычное сложение:
- [math]\displaystyle{ [n] + [n'] = [n + n'] }[/math],
а для морфизмов [math]\displaystyle{ f: [n] \to [n'] }[/math] и [math]\displaystyle{ g: [m] \to [m'] }[/math] по следующей схеме:
- [math]\displaystyle{ (f + g)(i) = \begin{cases}f(i), & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\ n' + g(i-n), & n \leqslant i \leqslant n+m-1 \end{cases} }[/math].
Симплициальная категория с порядковым сложением образует строго моноидальную категорию.
В приложениях также используется пополненная симплициальная категория (англ. augmented simplicial category) [math]\displaystyle{ \Delta_+ }[/math] — симплициальная категория, дополненная ординалом [math]\displaystyle{ [-1]=\varnothing }[/math]: [math]\displaystyle{ \Delta_+ = \Delta \cup [-1] }[/math]. Иногда пополненную симплициальную категорию называют алгебраической симплициальной категорией, в этом случае [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] называют топологической.
Примечания
- ↑ Иногда симплициальной категорией называют симплициальный объект из категории малых категорий. Кроме того, иногда таким же образом называют симплициально обогащённые категории (англ. simplicially enriched category) — категории, обогащённые над категорией симплициальных множеств. При наличии в контексте таких конструкций термина «симплициальная категория» для [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] стараются избегать, используя альтернативные термины или только обозначение.
- ↑ Маклейн, 2004, с. 204.
- ↑ Как [math]\displaystyle{ \mathbf{Ord} }[/math] часто также обозначается категория всех линейно упорядоченных множеств, в которой симплициальная категория является полной подкатегорией
- ↑ Симплициальный объект — статья из Математической энциклопедии. С. Н. Малыгин, М. М. Постников
Литература
- Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Перевод с английского М. М. Постникова. — М.: Мир, 1971. — С. 69—72. — 296 с.